与えられたクーロン力と遠心力の関係式 $F = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$ から電子速度 $v$ を表す式を導出し、その結果を用いて与えられたボーア半径 $r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ の式を導く。

1. 問題の内容

与えられたクーロン力と遠心力の関係式 $F = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$ から電子速度 $v$ を表す式を導出し、その結果を用いて与えられたボーア半径 $r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ の式を導く。

2. 解き方の手順

ステップ1：クーロン力と遠心力の関係式から速度 $v$ を求める。

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

両辺に $r$ を掛ける：

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} = m_e v^2$

両辺を $m_e$ で割る：

$v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}$

両辺の平方根を取る：

$v = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}}$

ステップ2：ボーアの量子条件を適用する。ボーアの量子条件は、$m_e v r = \frac{h}{2\pi}$ である。よって、$v = \frac{h}{2\pi m_e r}$ となる。

ステップ3：ステップ1で求めた$v$と、ステップ2で求めた$v$が等しいとして、$r$について解く。

$\frac{h}{2\pi m_e r} = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}}$

両辺を2乗する：

$\frac{h^2}{4\pi^2 m_e^2 r^2} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}$

両辺に $4\pi\epsilon_0 m_e r$ を掛ける：

$\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e r} = e^2 r$

rを消去するために両辺に $r$ を掛ける：

$\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e} = e^2 r$

$r$ について解く:

$r = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$

ステップ4：求めた $r$ はボーア半径 $r_B$ に等しい。

3. 最終的な答え

ボーア半径: $r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$