与えられた積分を計算します。 $$ \int \frac{e^{3x}}{(e^x + 1)^2} dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{e^{3x}}{(e^x + 1)^2} dx$$

2. 解き方の手順

まず、$u = e^x$ と置換します。すると、$du = e^x dx$ となり、$dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u}$ です。

この置換により、積分は次のようになります。

$$\int \frac{e^{3x}}{(e^x + 1)^2} dx = \int \frac{u^3}{(u + 1)^2} \frac{du}{u} = \int \frac{u^2}{(u + 1)^2} du$$

次に、$\frac{u^2}{(u + 1)^2}$ を変形します。

$$\frac{u^2}{(u + 1)^2} = \frac{(u + 1 - 1)^2}{(u + 1)^2} = \frac{(u + 1)^2 - 2(u + 1) + 1}{(u + 1)^2} = 1 - \frac{2}{u + 1} + \frac{1}{(u + 1)^2}$$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \frac{u^2}{(u + 1)^2} du = \int \left(1 - \frac{2}{u + 1} + \frac{1}{(u + 1)^2}\right) du$$

これを項別に積分します。

$$\int 1 du = u$$

$$\int \frac{2}{u + 1} du = 2 \ln |u + 1|$$

$$\int \frac{1}{(u + 1)^2} du = -\frac{1}{u + 1}$$

したがって、

$$\int \frac{u^2}{(u + 1)^2} du = u - 2 \ln |u + 1| - \frac{1}{u + 1} + C$$

ここで、$u = e^x$ を代入して元の変数に戻します。

$$e^x - 2 \ln (e^x + 1) - \frac{1}{e^x + 1} + C$$

3. 最終的な答え

$$e^x - 2\ln(e^x + 1) - \frac{1}{e^x + 1} + C$$