ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $120^\circ$ で、ベクトル $2\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + s\vec{b}$ が垂直であるとき、実数 $s$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $120^\circ$ で、ベクトル $2\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + s\vec{b}$ が垂直であるとき、実数 $s$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$2\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + s\vec{b}$ が垂直であるので、内積は0となる。

$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + s\vec{b}) = 0$

これを展開すると、

$2\vec{a} \cdot \vec{a} + 2s\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - s\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$2|\vec{a}|^2 + (2s-1)\vec{a} \cdot \vec{b} - s|\vec{b}|^2 = 0$

ここで、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{120^\circ} = |\vec{a}||\vec{b}|(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|$ である。

これを代入すると、

$2|\vec{a}|^2 + (2s-1)(-\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|) - s|\vec{b}|^2 = 0$

$2|\vec{a}|^2 - \frac{1}{2}(2s-1)|\vec{a}||\vec{b}| - s|\vec{b}|^2 = 0$

両辺を $|\vec{b}|^2$ で割ると、$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}=k$とおくと、

$2k^2 - \frac{1}{2}(2s-1)k - s = 0$

$4k^2 - (2s-1)k - 2s = 0$

$4k^2 + k - 2s(k+1) = 0$

$2\vec{a} \cdot \vec{a} + 2s\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - s\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$2|a|^2 + (2s-1)|a||b|cos(120) - s|b|^2 = 0$

$2|a|^2 - (2s-1)|a||b|/2 - s|b|^2 = 0$

$|a|^2 = 1, |b|^2 = 1$とすると

$2 - (2s-1)/2 - s = 0$

$4 - 2s + 1 - 2s = 0$

$5 = 4s$

$s = 5/4$

3. 最終的な答え

$s = \frac{5}{4}$