3点A(3, 0), B(2, 1), C(3, 5)からの距離が全て等しくなる点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

3点A(3, 0), B(2, 1), C(3, 5)からの距離が全て等しくなる点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とする。点PからA, B, Cまでの距離が等しいので、$PA = PB = PC$が成り立つ。距離の2乗で計算した方が扱いやすいので、$PA^2 = PB^2 = PC^2$を用いて計算する。

まず、$PA^2 = PB^2$より、

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$

$-6x + 9 = -4x + 5 - 2y$

$2y = 2x - 4$

$y = x - 2$ ...(1)

次に、$PB^2 = PC^2$より、

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$

$-4x - 2y + 5 = -6x - 10y + 34$

$2x + 8y = 29$ ...(2)

(1)を(2)に代入する。

$2x + 8(x - 2) = 29$

$2x + 8x - 16 = 29$

$10x = 45$

$x = 4.5$

(1)に$x = 4.5$を代入する。

$y = 4.5 - 2$

$y = 2.5$

したがって、点Pの座標は(4.5, 2.5)となる。

3. 最終的な答え

(4.5, 2.5)