図に示す座標平面において、点A(4,9)、点B(-5,0)、点C(7,0)が与えられている。次の問いに答えよ。 (1) 直線ABの式を求めよ。 (2) 直線ACの式を求めよ。 (3) 点Dの座標を求めよ。ただし、点Dは直線y軸上にあり、直線ABと交わっている。 (4) 三角形ABCの面積を求めよ。 (5) 四角形ADOCの面積を求めよ。 (6) 三角形ABCをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

図に示す座標平面において、点A(4,9)、点B(-5,0)、点C(7,0)が与えられている。次の問いに答えよ。

(1) 直線ABの式を求めよ。

(2) 直線ACの式を求めよ。

(3) 点Dの座標を求めよ。ただし、点Dは直線y軸上にあり、直線ABと交わっている。

(4) 三角形ABCの面積を求めよ。

(5) 四角形ADOCの面積を求めよ。

(6) 三角形ABCをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの式を求める。

直線ABは、点A(4,9)と点B(-5,0)を通る。

傾きは、

$m = \frac{9-0}{4-(-5)} = \frac{9}{9} = 1$

よって、直線ABの式は、$y = x + b$と表せる。

点B(-5,0)を代入すると、

$0 = -5 + b$

$b = 5$

したがって、直線ABの式は、$y = x + 5$

(2) 直線ACの式を求める。

直線ACは、点A(4,9)と点C(7,0)を通る。

傾きは、

$m = \frac{9-0}{4-7} = \frac{9}{-3} = -3$

よって、直線ACの式は、$y = -3x + b$と表せる。

点C(7,0)を代入すると、

$0 = -3(7) + b$

$b = 21$

したがって、直線ACの式は、$y = -3x + 21$

(3) 点Dの座標を求める。

点Dはy軸上にあるので、x座標は0である。

点Dは直線AB上にあるので、直線ABの式にx=0を代入する。

$y = 0 + 5 = 5$

したがって、点Dの座標は(0, 5)

(4) 三角形ABCの面積を求める。

三角形ABCの底辺はBCであり、BCの長さは7 - (-5) = 12である。

高さは点Aのy座標である9である。

したがって、三角形ABCの面積は、

$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54$

(5) 四角形ADOCの面積を求める。

四角形ADOCは、三角形ADCと三角形ADOに分割できる。

三角形ADCの底辺はDCであり、DCの長さは7-0 = 7である。高さは点Aのy座標と点Dのy座標の差の絶対値で、|9-5| = 4。従って、三角形ADCの面積は、

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \times 7 \times 9 = \frac{63}{2} = 31.5$

三角形ADOの底辺はDOであり、DOの長さは5-0 = 5。高さは点Aのx座標である4である。

従って、三角形ADOの面積は、

$S_{ADO} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$

四角形ADOCの面積は、

$S_{ADOC} = S_{ADC} + S_{ADO} = \frac{63}{2} + 10 = \frac{63+20}{2} = \frac{83}{2} = 41.5$

(6) 三角形ABCをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求める。

これは、底面の半径が9で高さが4-(-5)と4-7の円錐を合わせたものになる。

点Aからx軸に下ろした垂線の足をEとする。Eの座標は(4,0)。

線分BEの長さは、4 - (-5) = 9。

線分CEの長さは、7 - 4 = 3。

円錐の体積の公式は、$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

三角形ABEを回転させた円錐の体積は、

$V_{ABE} = \frac{1}{3} \pi (9^2) (9) = \frac{729}{3} \pi = 243 \pi$

三角形ACEを回転させた円錐の体積は、

$V_{ACE} = \frac{1}{3} \pi (9^2) (3) = \frac{243}{3} \pi = 81 \pi$

求める体積は、

$V = V_{ABE} + V_{ACE} = 243 \pi + 81 \pi = 324 \pi$

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 5$

(2) $y = -3x + 21$

(3) (0, 5)

(4) 54

(5) 41.5

(6) $324 \pi$