三角形ABCにおいて、与えられた条件を満たす三角形がどのような三角形であるかを答える問題です。 (1) $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$ (2) $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件を満たす三角形がどのような三角形であるかを答える問題です。

(1) $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$

(2) $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (Rは外接円の半径)が成り立ちます。

与えられた条件$\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$を変形します。

$b \sin B = a \sin A$

正弦定理より、$a = 2R \sin A$、$b = 2R \sin B$なので、

$(2R \sin B) \sin B = (2R \sin A) \sin A$

$2R \sin^2 B = 2R \sin^2 A$

$\sin^2 B = \sin^2 A$

$\sin B = \pm \sin A$

$A$と$B$は三角形の内角なので正の値しか取りません。よって、$\sin B = \sin A$

したがって、$A = B$

(2) 与えられた条件$\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$を変形します。

$a \cos B = b \cos A$

正弦定理より、$a = 2R \sin A$、$b = 2R \sin B$なので、

$(2R \sin A) \cos B = (2R \sin B) \cos A$

$\sin A \cos B = \sin B \cos A$

$\sin A \cos B - \sin B \cos A = 0$

$\sin(A - B) = 0$

$A - B = 0$ または $A - B = \pi$

$A - B = 0$より、$A = B$

$A - B = \pi$より、$A = B + \pi$ですが、三角形の内角の和は$\pi$なのでこれはあり得ません。

したがって、$A = B$

3. 最終的な答え

(1) $A = B$ なので、二等辺三角形。

(2) $A = B$ なので、二等辺三角形。