平らな土地に立つ塔の高さを求める問題です。地点Bと地点Cから塔を観測し、角度の情報とB, C間の距離が与えられています。$\angle ABC = 75^\circ$, $\angle ACB = 45^\circ$, 地点Bから塔の先端を見上げる角度は$60^\circ$、B, C間の距離は$317\sqrt{2}$mです。これらの情報から塔の高さを求めます。

1. 問題の内容

平らな土地に立つ塔の高さを求める問題です。地点Bと地点Cから塔を観測し、角度の情報とB, C間の距離が与えられています。$\angle ABC = 75^\circ$, $\angle ACB = 45^\circ$, 地点Bから塔の先端を見上げる角度は$60^\circ$、B, C間の距離は$317\sqrt{2}$mです。これらの情報から塔の高さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCにおいて、$\angle BAC$を求めます。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

次に、正弦定理を用いて、ABの長さを求めます。

$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AB}{\sin{\angle ACB}}$

$\frac{317\sqrt{2}}{\sin{60^\circ}} = \frac{AB}{\sin{45^\circ}}$

$AB = \frac{317\sqrt{2} \cdot \sin{45^\circ}}{\sin{60^\circ}} = \frac{317\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{317}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{634}{\sqrt{3}} = \frac{634\sqrt{3}}{3}$

塔の高さを$h$とすると、地点Bから塔の先端を見上げる角度が$60^\circ$なので、直角三角形において、

$\tan{60^\circ} = \frac{h}{AB}$

$h = AB \cdot \tan{60^\circ} = \frac{634\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{634 \cdot 3}{3} = 634$

3. 最終的な答え

塔の高さは634mです。