複素数平面上で、点 $z$ が原点Oを中心とする半径1の円上を動くとき、次の点 $w$ はどのような図形を描くか。 (1) $w = iz - i$ (2) $w = \frac{z + i}{z - i}$ (ただし、$z \neq i$)

1. 問題の内容

複素数平面上で、点 $z$ が原点Oを中心とする半径1の円上を動くとき、次の点 $w$ はどのような図形を描くか。

(1) $w = iz - i$

(2) $w = \frac{z + i}{z - i}$ (ただし、$z \neq i$)

2. 解き方の手順

(1)

$z$ は原点中心、半径1の円上を動くので、$|z| = 1$ である。

$w = iz - i$ より、

$w + i = iz$

両辺の絶対値を取ると、

$|w + i| = |iz| = |i| |z| = 1 \cdot 1 = 1$

したがって、$|w + i| = 1$ より、$w$ は $-i$ を中心とする半径1の円を描く。

(2)

$z$ は原点中心、半径1の円上を動くので、$|z| = 1$ である。

$w = \frac{z + i}{z - i}$ より、

$w(z - i) = z + i$

$wz - wi = z + i$

$wz - z = i + wi$

$z(w - 1) = i(1 + w)$

$z = \frac{i(1 + w)}{w - 1}$

$|z| = 1$ より、

$\left|\frac{i(1 + w)}{w - 1}\right| = 1$

$\frac{|i||1 + w|}{|w - 1|} = 1$

$\frac{|1 + w|}{|w - 1|} = 1$

$|1 + w| = |w - 1|$

ここで、$w = x + yi$ とおくと、

$|1 + x + yi| = |x - 1 + yi|$

$\sqrt{(1 + x)^2 + y^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$

$(1 + x)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2$

$1 + 2x + x^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

$4x = 0$

$x = 0$

したがって、$w$ は虚軸上を動く。

ただし、$z \neq i$ より、$w = \frac{z+i}{z-i}$ において、$w$ が存在しないのは、$z=i$ のとき。

$z=i$ のとき、$w = \frac{i+i}{i-i}$ となり定義できない。

$z=i$ のとき、$z = \frac{i(1+w)}{w-1}$ より、$i = \frac{i(1+w)}{w-1}$

$w - 1 = 1 + w$ となり、$-1 = 1$ となるので矛盾する。

$z = i$ は $w$ が存在しない点に対応する。

$z = i$ のとき、$w = \frac{i(1+w)}{w-1}$ を $w$ について解くと、$w = \frac{z+i}{z-i}$ から $z = \frac{wi+i}{w-1}$。 $w=1$ とすると $z = \frac{i+i}{1-1}$ となり定義できない。 $z = i$ のときは、$w$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $-i$, 半径 $1$ の円

(2) 虚軸 (ただし、点 $w = 1$ を除く)