平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。$\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$とするとき、3点P, Q, Cが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。$\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$とするとき、3点P, Q, Cが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{BP}$と$\vec{BQ}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表す。次に、$\vec{PC}$と$\vec{QC}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表す。最後に、$\vec{PC} = k\vec{QC}$となる実数kが存在することを示す。

* $\vec{BP}$を求める。

Pは辺ABを3:2に内分するので、$\vec{BP} = \frac{2}{5}\vec{BA} = \frac{2}{5}\vec{a}$

* $\vec{BD}$を求める。

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{c}$

* $\vec{BQ}$を求める。

Qは対角線BDを2:5に内分するので、$\vec{BQ} = \frac{2}{7}\vec{BD} = \frac{2}{7}(\vec{a} + \vec{c})$

* $\vec{BC} = \vec{c}$

* $\vec{PC}$を求める。

$\vec{PC} = \vec{BC} - \vec{BP} = \vec{c} - \frac{2}{5}\vec{a}$

* $\vec{QC}$を求める。

$\vec{QC} = \vec{BC} - \vec{BQ} = \vec{c} - \frac{2}{7}(\vec{a} + \vec{c}) = \vec{c} - \frac{2}{7}\vec{a} - \frac{2}{7}\vec{c} = -\frac{2}{7}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{c} = \frac{5}{7}(\vec{c} - \frac{2}{5}\vec{a})$

* $\vec{PC} = k\vec{QC}$となるkを探す。

$\vec{PC} = \vec{c} - \frac{2}{5}\vec{a} = \frac{7}{5}(\frac{5}{7}\vec{c} - \frac{2}{7}\vec{a}) = \frac{7}{5}\vec{QC}$

したがって、$\vec{PC} = \frac{7}{5}\vec{QC}$ となる。

3. 最終的な答え

$\vec{PC} = \frac{7}{5}\vec{QC}$より、$\vec{PC}$は$\vec{QC}$の実数倍であるため、$\vec{PC}$と$\vec{QC}$は平行である。

また、点Cを共有しているため、3点P, Q, Cは一直線上にある。

（証明終わり）