$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $D$ とする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。また、$\overrightarrow{AE} = \frac{5}{3} \overrightarrow{AD}$ を満たす点を $E$ とし、直線 $OE$ と直線 $BC$ との交点を $F$ とする。 (1) $\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ で表せ。 (2) $\overrightarrow{OF}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ で表せ。 (3) $FC : CB$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $D$ とする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。また、$\overrightarrow{AE} = \frac{5}{3} \overrightarrow{AD}$ を満たす点を $E$ とし、直線 $OE$ と直線 $BC$ との交点を $F$ とする。

(1) $\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ で表せ。

(2) $\overrightarrow{OF}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ で表せ。

(3) $FC : CB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AE} = \frac{5}{3} \overrightarrow{AD}$ より、$\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{OA} + \frac{5}{3} \overrightarrow{AD}$

$D$ は $OB$ を $3:2$ に内分する点なので、$\overrightarrow{OD} = \frac{3}{5} \overrightarrow{b}$。

したがって、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \frac{3}{5} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$。

$\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{a} + \frac{5}{3} (\frac{3}{5} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \frac{5}{3} \overrightarrow{a} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

(2) $F$ は直線 $OE$ 上の点なので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OF} = k \overrightarrow{OE} = k(-\frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = -\frac{2k}{3} \overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}$ と表せる。

また、$F$ は直線 $BC$ 上の点なので、実数 $l$ を用いて $\overrightarrow{OF} = (1-l) \overrightarrow{OB} + l \overrightarrow{OC} = (1-l) \overrightarrow{b} + l (\frac{1}{3} \overrightarrow{a}) = \frac{l}{3} \overrightarrow{a} + (1-l) \overrightarrow{b}$ と表せる。

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は一次独立なので、

$-\frac{2k}{3} = \frac{l}{3}$ かつ $k = 1-l$

$l = -2k$ より、 $k = 1 - (-2k) = 1 + 2k$

$-k = 1$ より $k = -1$

したがって、$\overrightarrow{OF} = -1 \cdot \overrightarrow{OE} = - (-\frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$

(3) $\overrightarrow{OF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ より、$\overrightarrow{OF} = \frac{l}{3} \overrightarrow{a} + (1-l) \overrightarrow{b}$ と比較すると、$\frac{l}{3} = \frac{2}{3}$ より $l = 2$。

$\overrightarrow{OF} = (1-l) \overrightarrow{b} + l \overrightarrow{OC}$ より、$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OB} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = 2(\frac{1}{3} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 2\overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OC} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \frac{1}{3} \overrightarrow{a} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{CB}$

よって、$FC : CB = CB : CB = 1:1$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OE} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

(2) $\overrightarrow{OF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$

(3) $FC : CB = 1 : 1$