一辺の長さが7の正三角形ABCとその外接円がある。外接円の点Bを含まない弧CA上に点Dを弦CDの長さが3となるようにとる。 (1) 線分ADの長さを求め、三角形ACDの面積を求めよ。 (2) 三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の比を求めよ。 (3) 線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが7の正三角形ABCとその外接円がある。外接円の点Bを含まない弧CA上に点Dを弦CDの長さが3となるようにとる。

(1) 線分ADの長さを求め、三角形ACDの面積を求めよ。

(2) 三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の比を求めよ。

(3) 線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ADの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理が使える。

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$

$7 \cdot 3 + 7 \cdot AD = 7 \cdot BD$

$21 + 7AD = 7BD$

$3 + AD = BD$

$\angle CAD = \angle CBD$, $\angle ACD = \angle ABD$

$\angle ACB = 60^\circ$ なので、 $\angle ADB = 120^\circ$

$\angle CAB = 60^\circ$ なので、 $\angle CDB = 120^\circ$

余弦定理より、

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD)$

$AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cos(\angle ADC) = AC^2$

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 AD \cdot CD \cdot \cos{CDB}$

$49 = AD^2 + 9 - 2 AD \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$40 = AD^2 + 3AD$

$AD^2 + 3AD - 40 = 0$

$(AD + 8)(AD - 5) = 0$

$AD > 0$ より

$AD = 5$

三角形ACDの面積を求める。

$\angle CAD = \angle CBD$ なので、 $\angle CAD = \alpha$とすると、 $\angle ACD = 60^\circ - \alpha$.

$\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

三角形ACDの面積 = $\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin A = \frac{1}{2} \times 7 \times 3 \sin A$.

$\angle CAD = 180^\circ - (120^\circ + \angle ACD) = 60^\circ - \angle ACD = 60^\circ - 120^\circ$

$\frac{AD}{\sin{ACD}} = \frac{AC}{\sin{ADC}}$

$\frac{5}{\sin{ACD}} = \frac{7}{\sin{120^\circ}}$

$\sin{ACD} = \frac{5}{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin{ACD} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \times 7 \times 3 \sin A$. $\angle DAC = \theta$とすると, $\angle ADC = 120^\circ$, $\angle ACD = 180^\circ - (\theta + 120^\circ)$.

面積 = $\frac{1}{2} AC \times AD \times \sin (\angle CAD)$

$\frac{\sin \angle CAD}{CD} = \frac{\sin \angle ADC}{AC} = \frac{\sin \angle ACD}{AD}$

$\frac{\sin \angle CAD}{3} = \frac{\sin 120^\circ}{7} = \frac{\sin \angle ACD}{5}$

$\sin \angle CAD = \frac{3}{7} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

面積 = $\frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \frac{3\sqrt{3}}{14} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(2) $\triangle ABD : \triangle BCD$ を求める。

$AD = 5, CD = 3$ なので、$S_{ABD} : S_{BCD} = AD : CD = 5:3$

(3) 線分BDの長さを求める。

$3 + AD = BD$ なので、$BD = 3 + 5 = 8$.

3. 最終的な答え

(1) 線分ADの長さは5であり、三角形ACDの面積は$\frac{15\sqrt{3}}{4}$である。

(2) 三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の比は5:3である。

(3) 線分BDの長さは8である。