四面体OABCにおいて、$OA = OB = OC = AB = 3$, $AC = 5$, $\cos \angle BAC = \frac{1}{3}$である。 (1) $\triangle ABC$の面積と$\triangle ABC$の外接円の直径を求める。 (2) $\triangle ABC$の外接円の中心をDとするとき、$OD$の長さと四面体$OABC$の体積を求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$OA = OB = OC = AB = 3$, $AC = 5$, $\cos \angle BAC = \frac{1}{3}$である。

(1) $\triangle ABC$の面積と$\triangle ABC$の外接円の直径を求める。

(2) $\triangle ABC$の外接円の中心をDとするとき、$OD$の長さと四面体$OABC$の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABC$の面積を求める。余弦定理より

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos \angle BAC$

$BC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = 9 + 25 - 10 = 24$

$BC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \angle BAC = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\triangle ABC$の面積は

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 5\sqrt{2}$

$\triangle ABC$の外接円の直径を求める。正弦定理より

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$2R = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{2\sqrt{6} \cdot 3}{2\sqrt{2}} = 3 \sqrt{\frac{6}{2}} = 3\sqrt{3}$

(2)

$OD$の長さを求める。$OA=OB=OC$より、$O$から底面$ABC$に下ろした垂線の足は$\triangle ABC$の外心$D$である。

$\triangle ABD$において、$AD = \frac{1}{2} (2R) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$、$OA = 3$であるから、三平方の定理より

$OD^2 = OA^2 - AD^2 = 3^2 - (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 = 9 - \frac{27}{4} = \frac{36 - 27}{4} = \frac{9}{4}$

$OD = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

四面体$OABC$の体積を求める。

$V = \frac{1}{3} \triangle ABC \cdot OD = \frac{1}{3} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABC$の面積は $5\sqrt{2}$であり、$\triangle ABC$の外接円の直径は $3\sqrt{3}$である。

(2) $OD = \frac{3}{2}$であり、四面体$OABC$の体積は $\frac{5\sqrt{2}}{2}$である。