20から200までの自然数について、以下の問いに答えます。 (1) 3の倍数の和を求めます。 (2) 7の倍数の和を求めます。 (3) 5で割って2余る数の和を求めます。 (4) 7で割り切れない数の和を求めます。 (5) 3または7の倍数の和を求めます。

1. 問題の内容

20から200までの自然数について、以下の問いに答えます。

(1) 3の倍数の和を求めます。

(2) 7の倍数の和を求めます。

(3) 5で割って2余る数の和を求めます。

(4) 7で割り切れない数の和を求めます。

(5) 3または7の倍数の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数

20から200までの3の倍数は、21, 24, ..., 198です。

これは初項21、末項198、公差3の等差数列です。

項数は、$\frac{198-21}{3} + 1 = \frac{177}{3} + 1 = 59 + 1 = 60$です。

和は、$\frac{60(21+198)}{2} = 30(219) = 6570$です。

(2) 7の倍数

20から200までの7の倍数は、21, 28, ..., 196です。

これは初項21、末項196、公差7の等差数列です。

項数は、$\frac{196-21}{7} + 1 = \frac{175}{7} + 1 = 25 + 1 = 26$です。

和は、$\frac{26(21+196)}{2} = 13(217) = 2821$です。

(3) 5で割って2余る数

20から200までの5で割って2余る数は、22, 27, ..., 197です。

これは初項22、末項197、公差5の等差数列です。

項数は、$\frac{197-22}{5} + 1 = \frac{175}{5} + 1 = 35 + 1 = 36$です。

和は、$\frac{36(22+197)}{2} = 18(219) = 3942$です。

(4) 7で割り切れない数

20から200までの自然数の和は、$\frac{(20+200)(200-20+1)}{2} = \frac{220 \cdot 181}{2} = 110 \cdot 181 = 19910$です。

7で割り切れる数の和は(2)で求めたように2821です。

したがって、7で割り切れない数の和は、19910 - 2821 = 17089です。

(5) 3または7の倍数

3の倍数の和は(1)で求めたように6570です。

7の倍数の和は(2)で求めたように2821です。

3の倍数かつ7の倍数である数は21の倍数です。

20から200までの21の倍数は、21, 42, ..., 189です。

これは初項21、末項189、公差21の等差数列です。

項数は、$\frac{189-21}{21} + 1 = \frac{168}{21} + 1 = 8 + 1 = 9$です。

和は、$\frac{9(21+189)}{2} = \frac{9(210)}{2} = 9(105) = 945$です。

したがって、3または7の倍数の和は、6570 + 2821 - 945 = 8446です。

3. 最終的な答え

(1) 3の倍数の和: 6570

(2) 7の倍数の和: 2821

(3) 5で割って2余る数の和: 3942

(4) 7で割り切れない数の和: 17089

(5) 3または7の倍数の和: 8446