2つの自然数からなる組が $(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), ...$ のように並んでいるとき、$(6, 3)$ は最初から数えて何番目の組であるかを求める問題です。

1. 問題の内容

2つの自然数からなる組が $(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), ...$ のように並んでいるとき、$(6, 3)$ は最初から数えて何番目の組であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の規則性として、組 $(a, b)$ において、$a + b$ の値が小さい順に並んでいることがわかります。$a + b$ が同じ値のときは、$a$ が大きい順に並んでいます。

まず、$a + b$ の値ごとに組の数を数えます。

- $a + b = 2$ のとき、組は $(1, 1)$ の1つ。

- $a + b = 3$ のとき、組は $(2, 1), (1, 2)$ の2つ。

- $a + b = 4$ のとき、組は $(3, 1), (2, 2), (1, 3)$ の3つ。

- $a + b = n$ のとき、組は $(n-1, 1), (n-2, 2), ..., (1, n-1)$ の $n-1$ 個。

$(6, 3)$ は $a + b = 6 + 3 = 9$ なので、$a + b \le 8$ までの組の数を合計します。

組の数は、$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ 個。

$a + b = 9$ となる組は、

$(8, 1), (7, 2), (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (2, 7), (1, 8)$

の8個あります。

$(6, 3)$ はこのうちの3番目です。

したがって、$(6, 3)$ は、最初から数えて $28 + 3 = 31$ 番目となります。

3. 最終的な答え

31