複素数平面において、$\alpha = 2+i$, $\beta = b-2i$, $\gamma = 6+ci$ とする。4点 $0$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にあるとき、実数 $b$, $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面において、$\alpha = 2+i$, $\beta = b-2i$, $\gamma = 6+ci$ とする。4点 $0$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にあるとき、実数 $b$, $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $0$, $\alpha$, $\beta$ が一直線上にあるので、$\beta = k\alpha$ を満たす実数 $k$ が存在する。

よって、

$b-2i = k(2+i) = 2k + ki$

実部と虚部を比較すると、

$b = 2k$

$-2 = k$

したがって、$k=-2$ であり、$b = 2k = 2(-2) = -4$

よって、$\beta = -4 - 2i$

点 $0$, $\alpha$, $\gamma$ が一直線上にあるので、$\gamma = l\alpha$ を満たす実数 $l$ が存在する。

よって、

$6+ci = l(2+i) = 2l + li$

実部と虚部を比較すると、

$6 = 2l$

$c = l$

したがって、$l=3$ であり、$c=3$

よって、$\gamma = 6 + 3i$

3. 最終的な答え

$b = -4$, $c = 3$