行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値が小さい順に並んでいる。そのうちの一つは $6$ である。他の二つの固有値と、与えられた固有ベクトルを完成させる問題。すなわち、空欄(1)から(5)にあてはまる整数値を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値が小さい順に並んでいる。そのうちの一つは $6$ である。他の二つの固有値と、与えられた固有ベクトルを完成させる問題。すなわち、空欄(1)から(5)にあてはまる整数値を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列$A$の固有値を求める。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ である。ここで、$I$は単位行列であり、$\lambda$は固有値を表す。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 21 & -6 \\ 20 & 8-\lambda & 20 \\ -2 & -11 & 4-\lambda \end{vmatrix}$ を計算する。

$|A - \lambda I| = -\lambda ((8-\lambda)(4-\lambda) - (-11)(20)) - 21(20(4-\lambda) - 20(-2)) - 6(20(-11) - (8-\lambda)(-2))$

$= -\lambda (32 - 12\lambda + \lambda^2 + 220) - 21(80 - 20\lambda + 40) - 6(-220 + 16 - 2\lambda)$

$= -\lambda (\lambda^2 - 12\lambda + 252) - 21(120 - 20\lambda) - 6(-204 - 2\lambda)$

$= -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 252\lambda - 2520 + 420\lambda + 1224 + 12\lambda$

$= -\lambda^3 + 12\lambda^2 + 180\lambda - 1296$

$|A - \lambda I| = -(\lambda - 6)(\lambda^2 - 6\lambda - 216) = -(\lambda - 6)(\lambda - 18)(\lambda + 12) = 0$

したがって、固有値は $-12, 6, 18$である。小さい順に並べると、$-12, 6, 18$となる。よって、(1)は$-12$、(2)は$18$である。

固有値$-12$に対応する固有ベクトル$\vec{v_1}$を求める。$(A - (-12)I)\vec{v_1} = \vec{0}$を解く。

$\begin{pmatrix} 12 & 21 & -6 \\ 20 & 20 & 20 \\ -2 & -11 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ x \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$12(3) + 21x - 6(-1) = 0 \Rightarrow 36 + 21x + 6 = 0 \Rightarrow 21x = -42 \Rightarrow x = -2$

$20(3) + 20x + 20(-1) = 0 \Rightarrow 60 + 20x - 20 = 0 \Rightarrow 20x = -40 \Rightarrow x = -2$

$-2(3) - 11x + 16(-1) = 0 \Rightarrow -6 - 11x - 16 = 0 \Rightarrow -11x = 22 \Rightarrow x = -2$

したがって、$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$となる。よって、(3)は$-2$である。

固有値$6$に対応する固有ベクトル$\vec{v_2}$を求める。$(A - 6I)\vec{v_2} = \vec{0}$を解く。

$\begin{pmatrix} -6 & 21 & -6 \\ 20 & 2 & 20 \\ -2 & -11 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-6x + 21(0) - 6(-1) = 0 \Rightarrow -6x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1$

$20x + 2(0) + 20(-1) = 0 \Rightarrow 20x - 20 = 0 \Rightarrow x = 1$

$-2x - 11(0) - 2(-1) = 0 \Rightarrow -2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

したがって、$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$となる。よって、(4)は$1$である。

固有値$18$に対応する固有ベクトル$\vec{v_3}$を求める。$(A - 18I)\vec{v_3} = \vec{0}$を解く。

$\begin{pmatrix} -18 & 21 & -6 \\ 20 & -10 & 20 \\ -2 & -11 & -14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-18(3) + 21(2) - 6x = 0 \Rightarrow -54 + 42 - 6x = 0 \Rightarrow -12 - 6x = 0 \Rightarrow x = -2$

$20(3) - 10(2) + 20x = 0 \Rightarrow 60 - 20 + 20x = 0 \Rightarrow 40 + 20x = 0 \Rightarrow x = -2$

$-2(3) - 11(2) - 14x = 0 \Rightarrow -6 - 22 - 14x = 0 \Rightarrow -28 - 14x = 0 \Rightarrow x = -2$

したがって、$\vec{v_3} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$となる。よって、(5)は$-2$である。

3. 最終的な答え

(1) $-12$

(2) $18$

(3) $-2$

(4) $1$

(5) $-2$