3桁の自然数 $M$ (百の位は0ではない、900未満)に99を足してできる自然数を$N$とする。このとき、$M$の各位の数の和と$N$の各位の数の和が同じ値になることを、以下の説明を完成させる形で証明する。

1. 問題の内容

3桁の自然数 $M$ (百の位は0ではない、900未満)に99を足してできる自然数を$N$とする。このとき、$M$の各位の数の和と$N$の各位の数の和が同じ値になることを、以下の説明を完成させる形で証明する。

2. 解き方の手順

まず、$M$を各位の数$a$, $b$, $c$を用いて表す。

$M = 100a + 10b + c$

$N = M + 99$なので、

$N = 100a + 10b + c + 99$

$N = 100a + 10b + c + 100 - 1$

$N = 100(a+1) + 10b + (c-1)$

ここで、$N$の百の位の数は $a+1$、十の位の数は $b$、一の位の数は $c-1$となる。

よって、$N$の各位の和は $(a+1) + b + (c-1) = a+b+c$ となり、$M$の各位の和 $a+b+c$ と同じ値になる。

したがって、

ア: 100

イ: 10

ウ: a+1

エ: b

オ: c-1

3. 最終的な答え

ア: 100

イ: 10

ウ: a+1

エ: b

オ: c-1