$z$は虚数であり、$|z| = 1$である。このとき、$w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$は、点$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$を中心とする半径1の円であるか。

1. 問題の内容

$z$は虚数であり、$|z| = 1$である。このとき、$w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4$は、点$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$を中心とする半径1の円であるか。

2. 解き方の手順

$z$は虚数であり、$|z| = 1$なので、$z = \pm i$が考えられます。

それぞれの$z$の値に対する$w$の値を計算し、$w$が点$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$を中心とする半径1の円周上にあるかどうかを調べます。

(i) $z = i$ のとき:

$w = (i + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4 = (\sqrt{2} + (\sqrt{2} + 1)i)^4$

$w - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i) = i$　のとき、半径１の円となるので

$\sqrt{2} + (\sqrt{2}+1)i -(\sqrt{2} + \sqrt{2}i)=i$　となるので$w$は、点$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$を中心とする半径１の円周上にはない。

$w = (\sqrt{2} + (\sqrt{2} + 1)i)^4 = (\sqrt{2})^4 (1 + (1+ \frac{1}{\sqrt{2}})i)^4$

$w \approx 4(1 + 2.12i)^4 \approx 4 (\sqrt{5.5})^4$

(ii) $z = -i$ のとき:

$w = (-i + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4 = (\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1)i)^4$

$w - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i) = -i$　のとき、半径１の円となるので

$\sqrt{2} + (\sqrt{2}-1)i -(\sqrt{2} + \sqrt{2}i)=-i$　となるので$w$は、点$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$を中心とする半径１の円周上にはない。

$w = (\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1)i)^4 = (\sqrt{2})^4 (1 + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})i)^4$

$w \approx 4(1 + 0.29i)^4$

ここで、$w$の軌跡が点$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$を中心とする半径1の円かどうかを確認するために、$|w - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)| = 1$を検証する。

3. 最終的な答え

いいえ、点$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$を中心とする半径1の円ではありません。