与えられた二次式 $a^2 - \frac{17}{2}a + \frac{3}{2}$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $a^2 - \frac{17}{2}a + \frac{3}{2}$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

二次式 $ax^2 + bx + c$ を因数分解する方法はいくつかありますが、ここでは解の公式を用いて解を求め、そこから因数分解する手順を示します。

まず、$a^2 - \frac{17}{2}a + \frac{3}{2} = 0$ の解を求めます。二次方程式の解の公式は

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この問題では、$a=1$, $b=-\frac{17}{2}$, $c=\frac{3}{2}$ なので、これを代入すると

$a = \frac{\frac{17}{2} \pm \sqrt{(-\frac{17}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = \frac{\frac{17}{2} \pm \sqrt{\frac{289}{4} - \frac{12}{2}}}{2}$

$a = \frac{\frac{17}{2} \pm \sqrt{\frac{289}{4} - \frac{24}{4}}}{2}$

$a = \frac{\frac{17}{2} \pm \sqrt{\frac{265}{4}}}{2}$

$a = \frac{\frac{17}{2} \pm \frac{\sqrt{265}}{2}}{2}$

$a = \frac{17 \pm \sqrt{265}}{4}$

したがって、解は $a = \frac{17 + \sqrt{265}}{4}$ と $a = \frac{17 - \sqrt{265}}{4}$ です。

これらを $\alpha = \frac{17 + \sqrt{265}}{4}$、$\beta = \frac{17 - \sqrt{265}}{4}$とすると、$a^2 - \frac{17}{2}a + \frac{3}{2}$ は $(a - \alpha)(a - \beta)$ と因数分解できます。

$a^2 - \frac{17}{2}a + \frac{3}{2} = (a - \frac{17 + \sqrt{265}}{4})(a - \frac{17 - \sqrt{265}}{4})$

ただし、因数分解の形を求める問題の意図としては、有理数の範囲での因数分解を期待している可能性が高いです。 その場合、この二次式は有理数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(a - \frac{17 + \sqrt{265}}{4})(a - \frac{17 - \sqrt{265}}{4})$

有理数の範囲で因数分解できない。