以下の2つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^6 - 64$ (2) $x^6 - y^6$

1. 問題の内容

以下の2つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^6 - 64$

(2) $x^6 - y^6$

2. 解き方の手順

(1) $x^6 - 64$

$x^6$ を $(x^3)^2$、64 を $8^2$ と考えると、これは二乗の差の形なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

よって、

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = (x^3 + 8)(x^3 - 8)$

さらに、$x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ と $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ はそれぞれ和と差の立方なので、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ と $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

したがって、

$x^6 - 64 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

$x^6 - 64 = (x - 2)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$

(2) $x^6 - y^6$

$x^6$ を $(x^3)^2$、$y^6$ を $(y^3)^2$ と考えると、これは二乗の差の形なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

よって、

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

さらに、$x^3 + y^3$ と $x^3 - y^3$ はそれぞれ和と差の立方なので、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ と $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$

(2) $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$