与えられた等比数列の和 $S$ を求めます。 (1) $1, 2, 4, ..., 128$ (2) $3, -9, 27, ..., -6561$

1. 問題の内容

与えられた等比数列の和 $S$ を求めます。

(1) $1, 2, 4, ..., 128$

(2) $3, -9, 27, ..., -6561$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

この数列は、初項 $a = 1$、公比 $r = 2$ の等比数列です。

末項が $128$ なので、第 $n$ 項が $128$ となる $n$ を求めます。

等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ なので、

$128 = 1 \cdot 2^{n-1}$

$2^7 = 2^{n-1}$

$7 = n-1$

$n = 8$

したがって、この数列は第8項まであります。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ です。

これに $a = 1$, $r = 2$, $n = 8$ を代入すると、

$S_8 = \frac{1(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{256 - 1}{1} = 255$

(2) の解き方：

この数列は、初項 $a = 3$、公比 $r = -3$ の等比数列です。

末項が $-6561$ なので、第 $n$ 項が $-6561$ となる $n$ を求めます。

等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ なので、

$-6561 = 3 \cdot (-3)^{n-1}$

$-2187 = (-3)^{n-1}$

$(-3)^7 = (-3)^{n-1}$

$7 = n-1$

$n = 8$

したがって、この数列は第8項まであります。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ です。

これに $a = 3$, $r = -3$, $n = 8$ を代入すると、

$S_8 = \frac{3((-3)^8 - 1)}{-3 - 1} = \frac{3(6561 - 1)}{-4} = \frac{3(6560)}{-4} = \frac{19680}{-4} = -4920$

3. 最終的な答え

(1) の答え： $255$

(2) の答え： $-4920$