$\frac{\sqrt{59}}{2}$ の小数部分 $b$ の値を求めます。

## 問題の解答

以下に、提示された画像の問題の解答を示します。

### 8(1) の解答

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{59}}{2}$ の小数部分 $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{59}$ の整数部分を考えます。$7^2 = 49$ であり、$8^2 = 64$ であるため、$7 < \sqrt{59} < 8$ です。したがって、$\sqrt{59}$ の整数部分は7です。

したがって、$\frac{\sqrt{59}}{2}$ の整数部分は $\frac{7}{2} = 3.5$ より3となります。

$\frac{\sqrt{59}}{2}$ の値は $3.5 < \frac{\sqrt{59}}{2} < 4$ を満たすので、$\frac{\sqrt{59}}{2}$ の小数部分 $b$ は $\frac{\sqrt{59}}{2} - 3$ で求められます。

3. 最終的な答え

$b = \frac{\sqrt{59}}{2} - 3$

### 8(2) の解答

1. 問題の内容

$\sqrt{3}x + 2\sqrt{3} \ge 2\sqrt{5}x - 4\sqrt{3}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$\sqrt{3}x - 2\sqrt{5}x \ge -4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3} - 2\sqrt{5})x \ge -6\sqrt{3}$

$x \le \frac{-6\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2\sqrt{5}}$

分母を有理化します。

$x \le \frac{-6\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})}{(\sqrt{3} - 2\sqrt{5})(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})}$

$x \le \frac{-6\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})}{3 - 4(5)}$

$x \le \frac{-6\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})}{-17}$

$x \le \frac{6\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})}{17}$

$x \le \frac{6(3 + 2\sqrt{15})}{17}$

$x \le \frac{18 + 12\sqrt{15}}{17}$

3. 最終的な答え

$x \le \frac{18 + 12\sqrt{15}}{17}$

### 9(1) の解答

1. 問題の内容

$2x^2 - xy + 4x - y^2 - y + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x$ について整理すると

$2x^2 - (y - 4)x - (y^2 + y - 2)$

$2x^2 - (y - 4)x - (y + 2)(y - 1)$

$(2x + y + 2)(x - y + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x + y + 2)(x - y + 1)$

### 9(2) の解答

1. 問題の内容

$(2x - y - 1)^2$ を展開します。

2. 解き方の手順

$(2x - y - 1)^2 = (2x - y - 1)(2x - y - 1)$

$= 4x^2 - 2xy - 2x - 2xy + y^2 + y - 2x + y + 1$

$= 4x^2 + y^2 - 4xy - 4x + 2y + 1$

3. 最終的な答え

$4x^2 + y^2 - 4xy - 4x + 2y + 1$

### 9(3) の解答

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{10} - \sqrt{6}}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^4 - \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

まず、$x$ を有理化します。

$x = \frac{2(\sqrt{10} + \sqrt{6})}{(\sqrt{10} - \sqrt{6})(\sqrt{10} + \sqrt{6})} = \frac{2(\sqrt{10} + \sqrt{6})}{10 - 6} = \frac{2(\sqrt{10} + \sqrt{6})}{4} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

次に、$\frac{1}{x}$ を求めます。

$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

(1) $x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (\sqrt{10})^2 - 2 = 10 - 2 = 8$

(3) $x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$

$x - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

したがって、$x^4 - \frac{1}{x^4} = 8 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{6} = 8\sqrt{60} = 8\sqrt{4 \cdot 15} = 8 \cdot 2 \sqrt{15} = 16\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{10}$

(2) $8$

(3) $16\sqrt{15}$