2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求める。ただし、$a$ の範囲によって場合分けが必要。 (3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $m(a)$ の最大値、最小値を求め、また $m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求める。ただし、$a$ の範囲によって場合分けが必要。

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $m(a)$ の最大値、最小値を求め、また $m(a) = 4$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x - 3)^2 - 9 - 3a + 18 = (x - 3)^2 - 3a + 9$

よって、頂点の座標は $(3, -3a + 9)$ である。

(2) (i) $a < 2$ のとき

区間 $[a, a+2]$ は $x = 3$ を含むので、$m(a) = f(3) = -3a + 9$ である。

(ii) $2 \le a \le 4$ のとき

$a \le 3 \le a + 2$ より $3 \le a+2$ と、$a \le 3$が成り立つので$a \le 3$ つまり$a \le 3 < a+2$となります。また、$a+2 \ge 4$となり、条件は正しいです。

$m(a) = f(3) = -3a+9$

(iii) $a > 4$ のとき

区間 $[a, a+2]$ は $x = 3$ を含まないので、最小値は区間の左端 $x = a$ でとる。

$m(a) = f(a) = a^2 - 6a - 3a + 18 = a^2 - 9a + 18$

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で考える。

(i) $a < 2$のとき、$m(a) = -3a+9$であり、これは減少関数である。$0 \le a < 2$の範囲で、$m(a)$は$a=0$で最大値9をとり、$a=2$に近づくにつれて減少する。

(ii) $2 \le a \le 4$のとき、$m(a) = -3a+9$であり、これは減少関数である。$2 \le a \le 4$の範囲で、$m(a)$は$a=2$で最大値3をとり、$a=4$で最小値-3をとる。

(iii) $4 < a \le 8$のとき、$m(a) = a^2 - 9a + 18 = (a - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4} + 18 = (a - \frac{9}{2})^2 - \frac{9}{4}$

この区間では、$a = 4$のとき $m(a) = 16 - 36 + 18 = -2$

$a = 8$のとき $m(a) = 64 - 72 + 18 = 10$

$m(a)$の頂点は$a = \frac{9}{2} = 4.5$なので、最小値は$a = 4.5$のとき $m(a) = -\frac{9}{4} = -2.25$

よって、$0 \le a \le 8$の範囲で、$m(a)$は、$a = 0$ のとき最大値 $9$ をとり、$a = 4$ のとき最小値 $-3$をとる。

$m(a) = 4$となる $a$ の値を求める。

(i) $a < 2$のとき、$-3a+9 = 4$より、$3a = 5$なので$a = \frac{5}{3}$ これは$a < 2$を満たす。

(ii) $2 \le a \le 4$のとき、$-3a+9 = 4$より、$3a = 5$なので$a = \frac{5}{3}$ これは$2 \le a \le 4$を満たさない。

(iii) $a > 4$のとき、$a^2 - 9a + 18 = 4$より、$a^2 - 9a + 14 = 0$、$(a-2)(a-7) = 0$、よって$a = 2, 7$。$a > 4$より、$a = 7$

3. 最終的な答え

(1) (ア) 3, (イ) 3, (ウ) 9

(2) (i) (エ) 2, (オ) 3, (カキ) 9

(ii) (エ) 2, (ク) 4, (ケコ) -3, (サ) 9

(iii) (ク) 4, (シ) 9, (スセ) 18

(3) (ソ) 0, (タ) 8, (チツ) 9, (テ) 4, (ト) 2, (ナニ) -9, (ヌ) 4

また、(ネ) 5, (ノ) 3, (ハ) 7