$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成の公式を思い出します。

$a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha)$

ここで、

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos \alpha = \frac{a}{r}$

$\sin \alpha = \frac{b}{r}$

今回の問題では、$a = 1$ 、$b = \sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

次に、$\alpha$ を求めます。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

この条件を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

よって、$r \sin(\theta + \alpha) = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ となります。

3. 最終的な答え

$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$