与えられた式を因数分解する問題です。式は $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ と $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$ の2つです。ここでは、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。式は $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ と $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$ の2つです。ここでは、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理してから因数分解します。

まず、式を展開します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

次に、式を整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

ここで、$a$について整理すると、

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + b^2c + bc^2 = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

共通因数 $(b+c)$ でくくります。

$(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc] = (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

さらに、$(a^2 + ab + ac + bc)$ を因数分解します。

$a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

したがって、全体の式は以下のように因数分解されます。

$(b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$