100gあたり $a$ 円の商品を買うときに、値段を $p$ 割引にしてもらう場合と、量を $p$ 割増にしてもらう場合とで、どちらが得かを比較する問題です。

1. 問題の内容

100gあたり $a$ 円の商品を買うときに、値段を $p$ 割引にしてもらう場合と、量を $p$ 割増にしてもらう場合とで、どちらが得かを比較する問題です。

2. 解き方の手順

まず、割引の場合の価格と、割増の場合の量について計算します。

$p$ 割は $\frac{p}{10}$ と表せることに注意します。

割引の場合：

100gあたりの値段が $a$ 円の商品の値段を $p$ 割引にしてもらうと、値段は $a \times (1 - \frac{p}{10})$ 円になります。

このとき、得られる商品の量は100gです。

したがって、100gあたりの価格は $a(1 - \frac{p}{10})$ 円となります。

割増の場合：

100gあたりの値段が $a$ 円の商品を、量を $p$ 割増にしてもらうと、得られる量は $100 \times (1 + \frac{p}{10})$ gになります。

このとき、支払う金額は $a$ 円です。

したがって、100gあたりの価格は $\frac{a}{1 + \frac{p}{10}}$ 円となります。

どちらが得かを比較するために、それぞれの100gあたりの価格の大小を比較します。

つまり、$a(1 - \frac{p}{10})$ と $\frac{a}{1 + \frac{p}{10}}$ の大小を比較します。$a$ は正の数なので、$1 - \frac{p}{10}$ と $\frac{1}{1 + \frac{p}{10}}$ の大小を比較すれば十分です。

$1 - \frac{p}{10}$ と $\frac{1}{1 + \frac{p}{10}}$ の差を計算します。

$(1 - \frac{p}{10}) - \frac{1}{1 + \frac{p}{10}} = \frac{(1 - \frac{p}{10})(1 + \frac{p}{10}) - 1}{1 + \frac{p}{10}} = \frac{1 - (\frac{p}{10})^2 - 1}{1 + \frac{p}{10}} = \frac{-(\frac{p}{10})^2}{1 + \frac{p}{10}}$

$p$ は正の数なので、$1 + \frac{p}{10} > 0$ であり、$-(\frac{p}{10})^2 < 0$ なので、$\frac{-(\frac{p}{10})^2}{1 + \frac{p}{10}} < 0$ となります。

したがって、$1 - \frac{p}{10} < \frac{1}{1 + \frac{p}{10}}$ となります。

つまり、$a(1 - \frac{p}{10}) < \frac{a}{1 + \frac{p}{10}}$ であるので、量を $p$ 割増にしてもらう方が得です。

3. 最終的な答え

量を $p$ 割増にしてもらう方が得。