関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ の $0 \le x \le a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求めます。 (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めます。 (3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ の $0 \le x \le a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求めます。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めます。

(3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 5x + 3$ を平方完成します。

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

よって、頂点の座標は$(\frac{5}{2}, -\frac{13}{4})$ です。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき

$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最小値をとります。したがって、区間 $0 \le x \le a$ において、$f(x)$ は単調減少です。

よって、$M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$

$m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき

$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最小値をとります。区間 $0 \le x \le a$ に $x = \frac{5}{2}$ が含まれるので、最小値は $m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$ です。

最大値を求めるためには、$f(0)$ と $f(a)$ を比較します。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$f(0) - f(a) = 3 - (a^2 - 5a + 3) = -a^2 + 5a = a(5 - a) \ge 0$

したがって、$f(0) \ge f(a)$ なので、$M = f(0) = 3$

(3) $a > 5$ のとき

$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最小値をとります。区間 $0 \le x \le a$ に $x = \frac{5}{2}$ が含まれるので、最小値は $m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$ です。

最大値を求めるためには、$f(0)$ と $f(a)$ を比較します。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$f(a) - f(0) = a^2 - 5a = a(a - 5) > 0$

したがって、$f(a) > f(0)$ なので、$M = f(a) = a^2 - 5a + 3$

3. 最終的な答え

(1) $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$