$a$ を定数とする。次の(I)～(III)の連立不等式のうち、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものを選び、そのときの $a$ の値を求める。 (I) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \leq 2x+1 \end{cases}$ (II) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \geq 2x+1 \end{cases}$ (III) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。次の(I)～(III)の連立不等式のうち、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものを選び、そのときの $a$ の値を求める。

(I) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \leq 2x+1 \end{cases}$

(II) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \geq 2x+1 \end{cases}$

(III) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(I) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \leq 2x+1 \end{cases}$

まず、$6x-1 \geq x+9$ を解くと、

$5x \geq 10$

$x \geq 2$

次に、$x-a \leq 2x+1$ を解くと、

$-x \leq a+1$

$x \geq -a-1$

連立不等式の解が $x=2$ となるためには、$x \geq 2$ かつ $x \geq -a-1$ であり、$x=2$ が解に含まれる必要がある。

つまり、$2 \geq -a-1$ が必要である。

$3 \geq -a$

$a \geq -3$

$x=2$ が解である場合、$x > 2$ は解に含まれていないので、連立不等式の解が $x=2$ となることはない。連立不等式の解は $x \geq 2$ となる。従って、解は $x=2$ とならないので、(I)は不適。

(II) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \geq 2x+1 \end{cases}$

まず、$6x-1 \geq x+9$ を解くと、$x \geq 2$

次に、$x-a \geq 2x+1$ を解くと、

$-x \geq a+1$

$x \leq -a-1$

連立不等式の解が $x=2$ となるためには、$x \geq 2$ かつ $x \leq -a-1$ であり、$x=2$ が解に含まれる必要がある。

つまり、$2 \leq -a-1$ が必要である。

$3 \leq -a$

$a \leq -3$

連立不等式の解が $x=2$ となるためには、$-a-1 = 2$ である必要がある。

$-a = 3$

$a = -3$

このとき、$x = 2$ となる。

(III) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$

まず、$6x-1 \geq x+9$ を解くと、$x \geq 2$

次に、$x-a > 2x+1$ を解くと、

$-x > a+1$

$x < -a-1$

連立不等式の解が $x=2$ となるためには、$x \geq 2$ かつ $x < -a-1$ である必要がある。

このとき、$2 < -a-1$ でなければならない。

$3 < -a$

$a < -3$

$x=2$ は解ではないので、(III)は不適。

したがって、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するのは(II)の場合のみで、$a=-3$である。

3. 最終的な答え

(II), $a=-3$