問題4は、与えられた $x$ の値に対して、$\sqrt{(x+1)^2}$ の値を求める問題です。問題5は、$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$ 、$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の値を求める問題です。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3 y + xy^3$

1. 問題の内容

問題4は、与えられた $x$ の値に対して、$\sqrt{(x+1)^2}$ の値を求める問題です。問題5は、$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$ 、$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の値を求める問題です。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3 y + xy^3$

2. 解き方の手順

問題4：$\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$ を利用して計算します。

(1) $x = 3$ のとき

$\sqrt{(3+1)^2} = \sqrt{4^2} = \sqrt{16} = 4$

(2) $x = -1$ のとき

$\sqrt{(-1+1)^2} = \sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0$

(3) $x = -3$ のとき

$\sqrt{(-3+1)^2} = \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

問題5：

(1) $x + y$ を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(2) $xy$ を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2$ を計算します。 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を利用します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{3})^2 - 2(-\frac{1}{2}) = 3 + 1 = 4$

(4) $x^3 y + xy^3$ を計算します。 $x^3y + xy^3 = xy(x^2+y^2)$を利用します。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = (-\frac{1}{2})(4) = -2$

3. 最終的な答え

問題4：

(1) 4

(2) 0

(3) 2

問題5：

(1) $\sqrt{3}$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) 4

(4) -2