連立一次方程式 $ \begin{cases} x + y + z = -1 \\ x + 2y + 4z = -6 \end{cases} $ と同値な直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

連立一次方程式

$$

\begin{cases}

x + y + z = -1 \\

x + 2y + 4z = -6

\end{cases}

$$

と同値な直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解き、直線の方程式を導きます。連立方程式から $x$ を消去します。2番目の式から1番目の式を引くと、

$$

(x + 2y + 4z) - (x + y + z) = -6 - (-1)

$$

$$

y + 3z = -5

$$

したがって、$y = -3z - 5$となります。

これを1番目の式に代入すると、

$$

x + (-3z - 5) + z = -1

$$

$$

x - 2z - 5 = -1

$$

$$

x = 2z + 4

$$

よって、

$$

\begin{cases}

x = 2z + 4 \\

y = -3z - 5

\end{cases}

$$

この連立方程式を直線の方程式の形に変換します。$z$ をパラメータとして表すと、

$z = \frac{x-4}{2} = \frac{y+5}{-3}$

$z = \frac{x-4}{2}$ より $x = 2z + 4$ なので $\frac{x}{2} = z + 2$ とはならないことに注意する。

次に、$x = 2z + 4$, $y = -3z - 5$ から定点と方向ベクトルを読み取ることを考える。

$x = 2z + 4$, $y = -3z - 5$, $z = 1z + 0$　と考えると、定点は $(4, -5, 0)$ で方向ベクトルは $(2, -3, 1)$ となる。

$$

\frac{x-4}{2} = \frac{y+5}{-3} = \frac{z}{1}

$$

これは選択肢の中にないので、zについて解いた形と比較する。

$$

\frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+2}{-1}

$$

この式を変形すると

$x = 2 (\frac{z+2}{-1}) = -2z - 4$, $y = 3 (\frac{z+2}{-1}) + 1 = -3z - 6 + 1 = -3z - 5$ となる。

この時、$x$ の定数項が異なるためこれも違うことがわかる。

$z = \frac{x-4}{2}$を変形すると、$z+2 = \frac{x-4}{2}+2 = \frac{x-4+4}{2} = \frac{x}{2}$。

また、$z = \frac{y+5}{-3}$を変形すると、$z+2 = \frac{y+5}{-3}+2 = \frac{y+5-6}{-3} = \frac{y-1}{-3}$。

したがって、$\frac{x}{2} = \frac{y-1}{-3} = z+2$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{2} = \frac{y-1}{-3} = z+2$