直角三角形ABCにおいて、頂点Aから斜辺BCに垂線ADを下ろす。$BD = 2$ cm、$AD = 4$ cmのとき、$CD$の長さを求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、頂点Aから斜辺BCに垂線ADを下ろす。$BD = 2$ cm、$AD = 4$ cmのとき、$CD$の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDは直角三角形なので、ピタゴラスの定理を用いて$AB$の長さを求める。

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

$AB^2 = 4^2 + 2^2$

$AB^2 = 16 + 4$

$AB^2 = 20$

$AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

次に、三角形ABCと三角形ABDは相似である（角Bが共通、角ADB=角BAC=90度より）。

したがって、$AB:BC = BD:AB$となる。

$AB^2 = BD \times BC$

$20 = 2 \times BC$

$BC = 10$

$BC = BD + DC$なので、$10 = 2 + DC$

よって、$DC = 8$

または、$AD$は直角三角形$ABC$の斜辺に対する垂線なので、$AD^2 = BD \times CD$という関係が成り立つ。

$4^2 = 2 \times CD$

$16 = 2 \times CD$

$CD = 8$

3. 最終的な答え

$CD = 8$