一辺が20cmの正三角形ABCの高さADを求め、一辺の長さと高さの比を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺が20cmの正三角形ABCの高さADを求め、一辺の長さと高さの比を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDで三平方の定理を用いてAD（$x$）の長さを求めます。

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

$20^2 = x^2 + 10^2$

$400 = x^2 + 100$

$x^2 = 300$

$x = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$

したがって、高さADは$10\sqrt{3}$ cmです。

次に、正三角形の一辺の長さと高さの比を求めます。

一辺の長さは20cm、高さは$10\sqrt{3}$cmなので、比は $20:10\sqrt{3}$ です。

これを簡単にするために、両方を10で割ります。

$20/10:10\sqrt{3}/10 = 2:\sqrt{3}$

比は $2:\sqrt{3}$ なので、有理化すると

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

したがって、$2:\sqrt{3} = 2\sqrt{3}:3$

3. 最終的な答え

△ABDで三平方の定理を用いて式をつくると $20^2 = x^2 + 10^2$ となる。

これを解くことにより、高さADは $10\sqrt{3}$ cmであることがわかる。

この結果を見ると、正三角形の1辺の長さと高さの比は $2:\sqrt{3}$ となることがわかる。または$2 \sqrt{3} : 3$となることがわかる。