四角形ABCDが円に内接しており、AB=3, BC=4, CD=5, DA=5である。このとき、$\cos \angle BAD$、BDの長さ、および四角形ABCDの面積を求めよ。

## 問題３

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、AB=3, BC=4, CD=5, DA=5である。このとき、$\cos \angle BAD$、BDの長さ、および四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle BAD$を求める。

余弦定理を三角形ABDに適用すると、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD$

$BD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos \angle BAD$

$BD^2 = 9 + 25 - 30 \cos \angle BAD$

$BD^2 = 34 - 30 \cos \angle BAD$

同様に、余弦定理を三角形BCDに適用すると、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD$

$BD^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos \angle BCD$

$BD^2 = 16 + 25 - 40 \cos \angle BCD$

$BD^2 = 41 - 40 \cos \angle BCD$

四角形ABCDが円に内接するので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$。したがって、$\cos \angle BCD = \cos (180^\circ - \angle BAD) = -\cos \angle BAD$。

$BD^2 = 41 + 40 \cos \angle BAD$

上記の2つの式から、$BD^2$を消去すると、

$34 - 30 \cos \angle BAD = 41 + 40 \cos \angle BAD$

$-7 = 70 \cos \angle BAD$

$\cos \angle BAD = -\frac{7}{70} = -\frac{1}{10}$

(2) BDを求める。

$BD^2 = 34 - 30 \cos \angle BAD = 34 - 30 (-\frac{1}{10}) = 34 + 3 = 37$

$BD = \sqrt{37}$

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

三角形ABDの面積は $\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin \angle BAD$

三角形BCDの面積は $\frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin \angle BCD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \angle BCD$

$\sin^2 \angle BAD + \cos^2 \angle BAD = 1$より、$\sin^2 \angle BAD = 1 - (-\frac{1}{10})^2 = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

$\sin \angle BAD = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{\sqrt{99}}{10} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$

$\sin \angle BCD = \sin (180^\circ - \angle BAD) = \sin \angle BAD = \frac{3\sqrt{11}}{10}$

四角形ABCDの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} = \frac{45\sqrt{11}}{20} + \frac{60\sqrt{11}}{20} = \frac{105\sqrt{11}}{20} = \frac{21\sqrt{11}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \angle BAD = -\frac{1}{10}$

$BD = \sqrt{37}$

四角形ABCDの面積は $\frac{21\sqrt{11}}{4}$