長方形ABCDにおいて、点PがAを出発し、AD上、DC上を移動する。点PがAを出発してからx秒後の四角形ABCPの面積をy $cm^2$ とする。 (1) 点PがAを出発してから1秒後の四角形ABCPの面積を求める。 (2) 点Pが辺AD上にあるとき、yをxの式で表す。 (3) 点Pが辺DC上にあるとき、yをxの式で表す。 (4) 点Pが辺AD、DC上を動くときの、xとyの関係を表すグラフを描く。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点PがAを出発し、AD上、DC上を移動する。点PがAを出発してからx秒後の四角形ABCPの面積をy $cm^2$ とする。

(1) 点PがAを出発してから1秒後の四角形ABCPの面積を求める。

(2) 点Pが辺AD上にあるとき、yをxの式で表す。

(3) 点Pが辺DC上にあるとき、yをxの式で表す。

(4) 点Pが辺AD、DC上を動くときの、xとyの関係を表すグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 1秒間に2cm進むので、1秒後にはAP = 2cm。四角形ABCPは台形となる。台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2で求められる。上底はAP = 2cm、下底はBC = 6cm、高さはAB = 8cm。

台形ABCPの面積 = (2+6)×8÷2 = 8×8÷2 = 32 $cm^2$

(2) 点PがAD上にあるとき、AP = 2x cm。四角形ABCPは台形となる。上底はAP = 2x cm、下底はBC = 6cm、高さはAB = 8cm。

台形ABCPの面積y = (2x+6)×8÷2 = (2x+6)×4 = 8x+24

(3) 点PがDC上にあるとき、ADの長さは6cmなので、AD上を移動するのにかかる時間は6/2 = 3秒。点PがDC上にあるときのxの範囲はx > 3。PDの長さはAD + DC - AP = 6 + 8 - 2x = 14 - 2x。

四角形ABCPの面積は、長方形ABCDの面積から三角形PDCの面積を引いたものとして求められる。長方形ABCDの面積は6 × 8 = 48 $cm^2$。三角形PDCの面積は(14-2x)×6÷2 = (14-2x)×3 = 42 - 6x。

四角形ABCPの面積y = 48 - (42 - 6x) = 48 - 42 + 6x = 6x + 6

(4) xの範囲は0から3まで(AD上)と3から7まで(DC上)。

xが0から3のとき、y = 8x + 24。x = 0のときy = 24。x = 3のときy = 8×3 + 24 = 24 + 24 = 48。

xが3から7のとき、y = 6x + 6。x = 3のときy = 6×3 + 6 = 18 + 6 = 24 (これは誤り。x=3のときPはDにいるので、y = 48とするべき)。x = 7のときy = 6×7 + 6 = 42 + 6 = 48。

3. 最終的な答え

(1) 32 $cm^2$

(2) $y = 8x + 24$

(3) $y = -6x+48 + 6x$

(4) (グラフは省略)