与えられた三角形ABCの辺の長さと角の大きさから、外接円の半径Rを求めます。3つのケースがあります。 (1) $a=6$, $A=30^\circ$ (2) $b=3$, $B=60^\circ$ (3) $c=14$, $C=150^\circ$

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCの辺の長さと角の大きさから、外接円の半径Rを求めます。3つのケースがあります。

(1) $a=6$, $A=30^\circ$

(2) $b=3$, $B=60^\circ$

(3) $c=14$, $C=150^\circ$

2. 解き方の手順

正弦定理を使います。正弦定理は、三角形ABCにおいて、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

という関係が成り立つことを示します。ここで、Rは外接円の半径です。

(1) $a=6$, $A=30^\circ$の場合

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

$R = \frac{a}{2\sin A}$

$R = \frac{6}{2\sin 30^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$R = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{6}{1} = 6$

(2) $b=3$, $B=60^\circ$の場合

正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$R = \frac{b}{2\sin B}$

$R = \frac{3}{2\sin 60^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$R = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

(3) $c=14$, $C=150^\circ$の場合

正弦定理より、

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$R = \frac{c}{2\sin C}$

$R = \frac{14}{2\sin 150^\circ}$

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$R = \frac{14}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{14}{1} = 14$

3. 最終的な答え

(1) $R = 6$

(2) $R = \sqrt{3}$

(3) $R = 14$