与えられた数学の問題は全部で11問あります。内容は以下の通りです。 (1) 楕円 $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$ の焦点の座標を求める。 (2) 楕円 $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1$ 上の点 $(-4, 1)$ における接線の方程式を求める。 (3) 焦点が $(-1, 1)$ で、準線の方程式が $x = 5$ である放物線の方程式を求める。 (4) 漸近線の方程式が $y = \pm 2x$ で、点 $(3, 0)$ を通る双曲線の方程式を求める。 (5) 放物線 $y^2 = -4x$ を直線 $x = -1$ に関して対称移動して得られる曲線の方程式を求める。 (6) 双曲線 $x^2 - y^2 = 9$ 上の点Pの座標を媒介変数を用いて表す。 (7) $x = 5\cos\theta$, $y = 3\sin\theta$ と媒介変数で表される曲線の (ア) 方程式 および (イ) 焦点の座標を求める。 (8) 曲線 $x = \sqrt{t}$, $y = \sqrt{t - 2}$ は、どのような図形か答える ($t$ は媒介変数)。 (9) 放物線 $y^2 = 4x$ に、点 $(3, 4)$ から引いた接線の方程式を求める。 (10) 極方程式 $r^2\sin\theta\cos\theta = 1$ の表す曲線を、直交座標の $x, y$ の方程式で表す。 (11) 極方程式 $r = \frac{1}{\sqrt{2} - \cos\theta}$ の表す曲線を、直交座標の $x, y$ の方程式で表す。ただし、2次曲線の標準形で答える。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は全部で11問あります。内容は以下の通りです。

(1) 楕円 $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$ の焦点の座標を求める。

(2) 楕円 $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1$ 上の点 $(-4, 1)$ における接線の方程式を求める。

(3) 焦点が $(-1, 1)$ で、準線の方程式が $x = 5$ である放物線の方程式を求める。

(4) 漸近線の方程式が $y = \pm 2x$ で、点 $(3, 0)$ を通る双曲線の方程式を求める。

(5) 放物線 $y^2 = -4x$ を直線 $x = -1$ に関して対称移動して得られる曲線の方程式を求める。

(6) 双曲線 $x^2 - y^2 = 9$ 上の点Pの座標を媒介変数を用いて表す。

(7) $x = 5\cos\theta$, $y = 3\sin\theta$ と媒介変数で表される曲線の (ア) 方程式 および (イ) 焦点の座標を求める。

(8) 曲線 $x = \sqrt{t}$, $y = \sqrt{t - 2}$ は、どのような図形か答える ($t$ は媒介変数)。

(9) 放物線 $y^2 = 4x$ に、点 $(3, 4)$ から引いた接線の方程式を求める。

(10) 極方程式 $r^2\sin\theta\cos\theta = 1$ の表す曲線を、直交座標の $x, y$ の方程式で表す。

(11) 極方程式 $r = \frac{1}{\sqrt{2} - \cos\theta}$ の表す曲線を、直交座標の $x, y$ の方程式で表す。ただし、2次曲線の標準形で答える。

2. 解き方の手順

(1) 楕円の焦点の座標を求める。

- 与えられた方程式を平方完成する。

- 標準形に変形し、長軸、短軸の長さを求める。

- 焦点の座標を求める。

(2) 楕円上の点における接線の方程式を求める。

- 楕円の接線の公式を利用する。

- 与えられた点を代入して接線の方程式を求める。

(3) 放物線の方程式を求める。

- 焦点と準線から放物線の定義に従って方程式を立てる。

(4) 双曲線の方程式を求める。

- 漸近線の方程式から双曲線の方程式の形を推測する。

- 与えられた点を代入して方程式を決定する。

(5) 放物線を対称移動して得られる曲線の方程式を求める。

- 対称移動の公式を利用する。

- $x$ を $x$ に関する式で置き換える。

(6) 双曲線上の点の座標を媒介変数を用いて表す。

- 双曲線の媒介変数表示を利用する。

- 例えば、$x = 3\sec\theta$, $y = 3\tan\theta$ など。

(7) 曲線の (ア) 方程式 および (イ) 焦点の座標を求める。

- $\cos\theta = \frac{x}{5}$, $\sin\theta = \frac{y}{3}$ を利用して$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ に代入して楕円の方程式を求める。

- 楕円の焦点の座標を求める。

(8) 曲線の種類を答える。

- $x^2 = t$, $y^2 = t - 2$ より $t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求める。

- どのような図形になるかを判断する。

(9) 放物線に接線を引く。

- 接点の座標を仮定する。

- 接線の方程式を求める。

- 接線が点 $(3, 4)$ を通る条件から接点を決定する。

(10) 極方程式を直交座標の方程式で表す。

- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を利用する。

- 与えられた極方程式に代入して $x, y$ の関係式を求める。

(11) 極方程式を直交座標の方程式で表す。

- $x = r\cos\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$ を利用する。

- 与えられた極方程式を変形して $x, y$ の関係式を求める。

- 2次曲線の標準形に変形する。

**具体的な計算は以下の通りです。**

(1) $9(x^2 - 4x) + 4(y^2 + 2y) + 4 = 0$

$9(x - 2)^2 - 36 + 4(y + 1)^2 - 4 + 4 = 0$

$9(x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 = 36$

$\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$

$a^2 = 4$, $b^2 = 9$ より、$c^2 = b^2 - a^2 = 9 - 4 = 5$

$c = \sqrt{5}$

焦点は $(2, -1 \pm \sqrt{5})$

(2) $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1$ 上の点 $(-4, 1)$ における接線の方程式は、$\frac{x_1 x}{20} + \frac{y_1 y}{5} = 1$ に $(-4, 1)$ を代入して、$-\frac{4x}{20} + \frac{y}{5} = 1$ より、$-\frac{x}{5} + \frac{y}{5} = 1$, よって $y = x + 5$

(3) 焦点 $(-1, 1)$、準線 $x = 5$ より、放物線上の点 $(x, y)$ とすると、$\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 1)^2} = |x - 5|$

$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 5)^2$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 10x + 25$

$y^2 - 2y + 1 = -12x + 23$

$y^2 - 2y = -12x + 22$

$y^2 - 2y + 1 = -12x + 23$

$(y - 1)^2 = -12x + 23$

(4) 漸近線 $y = \pm 2x$ より、双曲線の方程式は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1$

点 $(3, 0)$ を通るので、$\frac{9}{a^2} = 1$ より、$a^2 = 9$

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$

(5) $y^2 = -4x$ を $x = -1$ に関して対称移動すると、$x \rightarrow -2 - x$

$y^2 = -4(-2 - x) = 8 + 4x$

$y^2 = 4x + 8$

(6) $x^2 - y^2 = 9$ 上の点Pの座標は、$x = 3\sec\theta$, $y = 3\tan\theta$

(7) $x = 5\cos\theta$, $y = 3\sin\theta$ より、$\frac{x}{5} = \cos\theta$, $\frac{y}{3} = \sin\theta$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ より、$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

$a^2 = 25$, $b^2 = 9$ より、$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$

$c = 4$

焦点は $(\pm 4, 0)$

(8) $x = \sqrt{t}$, $y = \sqrt{t - 2}$ より、$x^2 = t$, $y^2 = t - 2$

$y^2 = x^2 - 2$

$y^2 - x^2 = -2$

$x^2 - y^2 = 2$

$x \geq 0$, $y \geq 0$ なので、双曲線の一部

(9) $y^2 = 4x$ に点 $(3, 4)$ から引いた接線の方程式を求める。

$y = mx + n$ とすると、$y^2 = 4x$ に代入して、$(mx + n)^2 = 4x$

$m^2 x^2 + 2mnx + n^2 = 4x$

$m^2 x^2 + (2mn - 4)x + n^2 = 0$

判別式 $D = (2mn - 4)^2 - 4m^2 n^2 = 0$

$4m^2 n^2 - 16mn + 16 - 4m^2 n^2 = 0$

$-16mn + 16 = 0$ より、$mn = 1$

$n = \frac{1}{m}$

$y = mx + \frac{1}{m}$ が $(3, 4)$ を通るので、$4 = 3m + \frac{1}{m}$

$4m = 3m^2 + 1$

$3m^2 - 4m + 1 = 0$

$(3m - 1)(m - 1) = 0$

$m = 1, \frac{1}{3}$

$m = 1$ のとき、$y = x + 1$

$m = \frac{1}{3}$ のとき、$y = \frac{1}{3}x + 3$

$3y = x + 9$

$x - 3y + 9 = 0$

(10) $r^2 \sin\theta \cos\theta = 1$

$r^2 \frac{y}{r} \frac{x}{r} = 1$

$xy = 1$

(11) $r = \frac{1}{\sqrt{2} - \cos\theta}$

$r\sqrt{2} - r\cos\theta = 1$

$r\sqrt{2} = 1 + r\cos\theta$

$\sqrt{2}\sqrt{x^2 + y^2} = 1 + x$

$2(x^2 + y^2) = (1 + x)^2$

$2x^2 + 2y^2 = 1 + 2x + x^2$

$x^2 - 2x + 2y^2 = 1$

$(x - 1)^2 + 2y^2 = 2$

$\frac{(x - 1)^2}{2} + y^2 = 1$

$\frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 焦点: $(2, -1 \pm \sqrt{5})$

(2) 接線: $y = x + 5$

(3) 放物線: $(y - 1)^2 = -12x + 23$

(4) 双曲線: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$

(5) 対称移動後の放物線: $y^2 = 4x + 8$

(6) 双曲線上の点P: $(3\sec\theta, 3\tan\theta)$

(7) (ア) 楕円: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, (イ) 焦点: $(\pm 4, 0)$

(8) 双曲線の一部 ($x \geq 0$, $y \geq 0$): $x^2 - y^2 = 2$

(9) 接線: $y = x + 1$, $x - 3y + 9 = 0$

(10) 直交座標: $xy = 1$

(11) 直交座標 (標準形): $\frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$