放物線 $y = x^2$ 上に3点A, B, Cがあり、それぞれのx座標は-2, -1, 5である。放物線上に点DをAC//BDとなるようにとるとき、点Dの座標と台形ABDCの面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上に3点A, B, Cがあり、それぞれのx座標は-2, -1, 5である。放物線上に点DをAC//BDとなるようにとるとき、点Dの座標と台形ABDCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの座標を求める

まず、点A, B, Cの座標を求める。

Aのx座標は-2なので、y座標は $(-2)^2 = 4$。よってA(-2, 4)

Bのx座標は-1なので、y座標は $(-1)^2 = 1$。よってB(-1, 1)

Cのx座標は5なので、y座標は $5^2 = 25$。よってC(5, 25)

直線ACの傾きは、

$\frac{25 - 4}{5 - (-2)} = \frac{21}{7} = 3$

AC//BDより、直線BDの傾きも3である。

点Dのx座標をtとすると、点Dのy座標は $t^2$となる。よってD(t, $t^2$)

直線BDの傾きは、

$\frac{t^2 - 1}{t - (-1)} = \frac{t^2 - 1}{t + 1} = \frac{(t - 1)(t + 1)}{t + 1} = t - 1$

これが3に等しいので、

$t - 1 = 3$

$t = 4$

よってD(4, 16)

(2) 台形ABDCの面積を求める

台形ABDCの面積は、(上底+下底)×高さ÷2で求められる。

上底ACの長さは、

$\sqrt{(5 - (-2))^2 + (25 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + 21^2} = \sqrt{49 + 441} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10}$

下底BDの長さは、

$\sqrt{(4 - (-1))^2 + (16 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$

台形の高さは、ACとBDの距離なので、点Bと直線ACの距離である。

直線ACの方程式は、$y = 3x + b$で、A(-2, 4)を通るので、

$4 = 3(-2) + b$

$4 = -6 + b$

$b = 10$

よって、直線ACの方程式は、$y = 3x + 10$

$3x - y + 10 = 0$

点B(-1, 1)と直線ACの距離は、

$\frac{|3(-1) - 1 + 10|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3 - 1 + 10|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{10}}$

台形ABDCの面積は、

$\frac{(7\sqrt{10} + 5\sqrt{10}) \times \frac{6}{\sqrt{10}}}{2} = \frac{12\sqrt{10} \times \frac{6}{\sqrt{10}}}{2} = \frac{12 \times 6}{2} = 36$

3. 最終的な答え

(1) 点Dの座標: (4, 16)

(2) 台形ABDCの面積: 36