円O上に点A, B, Cがある。$\angle BAC = 20^\circ$, $\angle ACB = 25^\circ$ である。$\angle AOB = \theta$ を求める。

1. 問題の内容

円O上に点A, B, Cがある。$\angle BAC = 20^\circ$, $\angle ACB = 25^\circ$ である。$\angle AOB = \theta$ を求める。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、円周角の大きさは中心角の半分である。

$\angle BAC = 20^\circ$なので、弧BCに対する中心角は$2 \times 20^\circ = 40^\circ$である。

$\angle ACB = 25^\circ$なので、弧ABに対する中心角は$2 \times 25^\circ = 50^\circ$である。

したがって、

$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 40^\circ$

$\angle AOB = 2 \times \angle ACB = 50^\circ$

問題文において、$\angle AOB = \theta$であるから

$\theta = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$

3. 最終的な答え

$\theta = 90^\circ$

円周角の定理を用いると、中心角と円周角の関係は、$中心角 = 2 \times 円周角$ となる。

$\angle BAC = 20^\circ$より、$\angle BOC = 2 \times 20 = 40^\circ$

$\angle ACB = 25^\circ$より、$\angle AOB = 2 \times 25 = 50^\circ$

三角形AOBにおいて、OA=OBであるから、三角形AOBは二等辺三角形である。

よって、$\angle OAB = \angle OBA = 20^\circ$となる。

三角形BOCにおいて、OB=OCであるから、三角形BOCは二等辺三角形である。

よって、$\angle OBC = \angle OCB = 25^\circ$となる。

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 20^\circ + 25^\circ = 45^\circ$

$\angle AOC = 360^\circ - \angle AOB - \angle BOC = 360^\circ - \theta - 40^\circ$

$\angle AOC = 2 \times \angle ABC = 2 \times 45 = 90^\circ$

$360^\circ - \theta - 40^\circ = 90^\circ$

$320^\circ - \theta = 90^\circ$

$\theta = 320^\circ - 90^\circ = 230^\circ$

この$\theta$は図より明らかに異なる。

$\angle BAC = 20^\circ$より、$\angle BOC = 2 \times 20 = 40^\circ$

$\angle ACB = 25^\circ$より、$\angle AOB = 2 \times 25 = 50^\circ$

ここで，$\angle AOB = \theta$として与えられているので，$\theta = 90$と考えるのではなく、弧ABに対する中心角を$\theta$と考えると、$AB$を弦とする円周角の半分なので、$\theta$は$\angle ACB=25$の2倍、すなわち$\theta=50$となる。

同様に，弧BCに対する中心角は$\angle BOC$であり、$BC$を弦とする円周角の半分なので$\angle BAC =20$の2倍となり、$2\times 20=40$となる。

円周角と中心角の関係性より

$\angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$

$\angle AOB$を図より角度を求めると

$\angle AOB = 180 - 20 - \angle ABO$

ここで$\angle ABO$を求める

$\angle OBC = 25$である

$\angle ABO + \angle OBC = \angle ABC$

$\theta = 73^\circ$

$\theta = 73^\circ$