問題文は、座標平面における円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ と円 $C_2: (x-8)^2 + y^2 = 16$ について、円 $C_2$ に接する直線の方程式を求める方法を考える問題です。具体的には、点P(p, q) が円 $C_1$ 上にあるとき、$p^2 + q^2 = 4$ が成り立ち、点Pにおける $C_1$ の接線 $l$ の方程式を求めます。また、原点(0, 0) と点Pを結ぶ直線 $m$ と、接線 $l$ の関係を考察し、条件を満たす点Pの座標を求めます。

1. 問題の内容

問題文は、座標平面における円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ と円 $C_2: (x-8)^2 + y^2 = 16$ について、円 $C_2$ に接する直線の方程式を求める方法を考える問題です。具体的には、点P(p, q) が円 $C_1$ 上にあるとき、$p^2 + q^2 = 4$ が成り立ち、点Pにおける $C_1$ の接線 $l$ の方程式を求めます。また、原点(0, 0) と点Pを結ぶ直線 $m$ と、接線 $l$ の関係を考察し、条件を満たす点Pの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $m$ は原点(0, 0)と点P(p, q)を結ぶ直線なので、その傾きは $\frac{q}{p}$ です。接線 $l$ は直線 $m$ と垂直なので、$l$ の傾きは $-\frac{p}{q}$ となります。点P(p, q)における円 $C_1$ の接線の方程式は、$px + qy = 4$ で表されます。

したがって、空欄「エ」には $-\frac{p}{q}$ が入り、「オ」には $-\frac{p}{q}$ が入り、「カ」には $px + qy = 4$ が入ります。

(2) p=0 または q=0 の場合も、$px + qy = 4$ の表す直線は、Pにおける $C_1$ の接線となることがわかります。

(3) $C_1$ に接する直線が $C_2$ にも接するのは、$C_2$ の中心 (8, 0) と接線 $l$ の距離が、$C_2$ の半径である4に等しいときです。つまり、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|8p + 0q - 4|}{\sqrt{p^2 + q^2}} = 4$

$|8p - 4| = 4\sqrt{p^2 + q^2}$

$|2p - 1| = \sqrt{p^2 + q^2}$

両辺を2乗して、$4p^2 - 4p + 1 = p^2 + q^2$

$3p^2 - 4p + 1 = q^2$

ここで、$p^2 + q^2 = 4$ より、$q^2 = 4 - p^2$ なので、

$3p^2 - 4p + 1 = 4 - p^2$

$4p^2 - 4p - 3 = 0$

$(2p - 3)(2p + 1) = 0$

$p = \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$

よって、空欄「キ」には $C_2$ の中心と $l$ の距離が、$C_2$ の半径に等しいが入ります。

(4) p = 3/2のとき、q = $\pm \sqrt{4 - (3/2)^2} = \pm \sqrt{7}/2$

p = -1/2のとき、q = $\pm \sqrt{4 - (-1/2)^2} = \pm \sqrt{15}/2$

したがって、円 $C_1$ に接し、$C_2$ に接するときのPの座標は、

$(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2}), (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{7}}{2}), (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}), (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{15}}{2})$ となります。

3. 最終的な答え

エ: $-\frac{p}{q}$

オ: $-\frac{p}{q}$

カ: $px + qy = 4$

キ: $C_2$の中心と $l$ の距離が、$C_2$ の半径に等しい

ク: 3

ケ: 2

コサ: 7

シ: 2

ス: -1

セ: 2

ソ: 15

タ: 2