2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$ の交点P, Qを通る直線の方程式を求め、さらに、2点P, Qと原点を通る円の中心の座標と半径を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$ の交点P, Qを通る直線の方程式を求め、さらに、2点P, Qと原点を通る円の中心の座標と半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。

2つの円の方程式を

$x^2 + y^2 - 1 = 0$

$(x-1)^2 + (y+3)^2 - 5 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 - 5 = x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$

とする。

これらの交点を通る直線の方程式は、実数 $k$ を用いて

$x^2 + y^2 - 1 + k(x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5) = 0$

と表せる。直線の方程式を求めたいので、$x^2$ と $y^2$ の項が消えるように $k=-1$ とおく。

$x^2 + y^2 - 1 - (x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5) = 0$

$2x - 6y - 6 = 0$

$x - 3y - 3 = 0$

(2) 2点P, Qと原点を通る円の方程式を求める。

2点P, Qを通る円の方程式は、実数 $k'$ を用いて

$x^2 + y^2 - 1 + k'((x-1)^2 + (y+3)^2 - 5) = 0$

と表せる。

この円が原点(0, 0)を通るので、

$0^2 + 0^2 - 1 + k'((0-1)^2 + (0+3)^2 - 5) = 0$

$-1 + k'(1 + 9 - 5) = 0$

$-1 + 5k' = 0$

$k' = \frac{1}{5}$

円の方程式は

$x^2 + y^2 - 1 + \frac{1}{5}(x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5) = 0$

$5(x^2 + y^2 - 1) + (x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5) = 0$

$6x^2 + 6y^2 - 2x + 6y = 0$

$3x^2 + 3y^2 - x + 3y = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{1}{3}x + y = 0$

$(x - \frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 0$

$(x - \frac{1}{6})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{36} + \frac{1}{4} = \frac{1}{36} + \frac{9}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

円の中心の座標は $(\frac{1}{6}, -\frac{1}{2})$

円の半径は $\sqrt{\frac{5}{18}} = \frac{\sqrt{10}}{6}$

3. 最終的な答え

2つの円の交点を通る直線の方程式: $x - 3y - 3 = 0$

2点P, Qと原点を通る円の中心の座標: $(\frac{1}{6}, -\frac{1}{2})$

2点P, Qと原点を通る円の半径: $\frac{\sqrt{10}}{6}$