線分OAを対角線とする正方形ABOCがあり、頂点B, Cは原点Oを頂点とする放物線 $y = -\frac{1}{3}x^2$ 上にある。辺ACを含む直線と放物線との交点のうち、C以外の点をDとする。 (1) 点Bの座標を求める。 (2) 点Aの座標を求める。 (3) 原点Oを通る直線 $l$ は、台形OCDBの面積を2等分するという、$l$ とCDの交点の座標を求める。

1. 問題の内容

線分OAを対角線とする正方形ABOCがあり、頂点B, Cは原点Oを頂点とする放物線 $y = -\frac{1}{3}x^2$ 上にある。辺ACを含む直線と放物線との交点のうち、C以外の点をDとする。

(1) 点Bの座標を求める。

(2) 点Aの座標を求める。

(3) 原点Oを通る直線 $l$ は、台形OCDBの面積を2等分するという、$l$ とCDの交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Bの座標を求める。

点Cのx座標を $t$ とすると、$C(t, -\frac{1}{3}t^2)$ と表せる。

正方形ABOCなので、OA = AC. またOAとACは垂直。

点Aの座標を $(0, a)$ とすると、ACの中点は$(\frac{t}{2}, \frac{-\frac{1}{3}t^2+a}{2})$となる。この中点は線分OAの中点でもあるので、$(\frac{t}{2}, \frac{-\frac{1}{3}t^2+a}{2}) = (0, \frac{a}{2})$。

よって、$\frac{t}{2}=0$より、$t=0$となるが、これは不適。

Aのy座標を $a$ とする。Cは$(t, -\frac{1}{3}t^2)$なので、ACの傾きは $\frac{-\frac{1}{3}t^2-a}{t} = \frac{-t}{3} - \frac{a}{t}$

OAの傾きは $\frac{a-0}{0-0}$なので定義できない。

OAとACが垂直なので、ACの傾き $\times$ OAの傾き = -

1. 正方形なので、OA = AC.

よって、$\sqrt{a^2} = \sqrt{(t-0)^2 + (-\frac{1}{3}t^2 - a)^2}$

$a^2 = t^2 + (\frac{1}{9}t^4 + \frac{2}{3}at^2 + a^2)$

$0 = t^2 + \frac{1}{9}t^4 + \frac{2}{3}at^2$

$0 = t^2(1 + \frac{1}{9}t^2 + \frac{2}{3}a)$

$t \neq 0$ なので、$1 + \frac{1}{9}t^2 + \frac{2}{3}a = 0$

$\frac{1}{9}t^2 = -1 - \frac{2}{3}a$

$t^2 = -9 - 6a$

$t = \sqrt{-9-6a}$

よって、$C(\sqrt{-9-6a}, -\frac{1}{3}(-9-6a)) = (\sqrt{-9-6a}, 3+2a)$

点Aはy軸上にあるので、$C(t, -\frac{1}{3}t^2)$、Bはx軸に対して対称なので、Bのx座標は $-t$。

OAを対角線とする正方形なので、OAの中点とBCの中点が一致する。

$A(0, -\frac{2}{3})$ とすると、Bの座標は $(-t, -\frac{1}{3}t^2)$.

$A(0, -\frac{2}{3})$なので、OAの中点は $(0, -\frac{1}{3})$.

Cは $(t, -\frac{1}{3}t^2)$ なので、BCの中点は $(\frac{t-t}{2}, \frac{-\frac{1}{3}t^2-\frac{1}{3}t^2}{2}) = (0, -\frac{1}{3}t^2)$.

よって、$-\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}t^2$。 $t^2 = 1$。 $t = 1$ (t>0より)。

よって、Bの座標は $(-1, -\frac{1}{3})$.

(2) 点Aの座標を求める。

(1)より、A(0, -2/3)

(3) 原点Oを通る直線 $l$ は、台形OCDBの面積を2等分するという、$l$ とCDの交点の座標を求める。

$B(-1, -\frac{1}{3}), C(1, -\frac{1}{3}), D(x, -\frac{1}{3}x^2)$

直線ACの式は $y = ax+b$. $A(0, -\frac{2}{3})$なので、$b=-\frac{2}{3}$.

C(1, -1/3)なので、$-\frac{1}{3} = a - \frac{2}{3}$. よって、$a = \frac{1}{3}$.

直線ACは、$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$.

$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ と $y = -\frac{1}{3}x^2$ の交点を求める。

$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}x^2$

$x - 2 = -x^2$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$. $x = 1, -2$.

Dの座標は $(-2, -\frac{4}{3})$.

直線CDの式を求める。C(1, -1/3), D(-2, -4/3).

傾きは $\frac{-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}{1+2} = \frac{1}{3}$.

$y = \frac{1}{3}x+b$. $-\frac{1}{3} = \frac{1}{3}+b$. $b=-\frac{2}{3}$.

直線CDは $y = \frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$.

台形OCDBの面積を求める。

$OC = \sqrt{1^2 + (-\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1+\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.

$BD = \sqrt{(-1+2)^2 + (-\frac{1}{3}+\frac{4}{3})^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

高さは原点から直線CDまでの距離。

$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$.

$x-3y-2=0$.

原点から直線までの距離は $\frac{|0-0-2|}{\sqrt{1+9}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

台形OCDBの面積は $\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{10}}{3}+\sqrt{2})\frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{1}{2}(\frac{10}{15} + \frac{\sqrt{20}}{5}) = \frac{1}{2}(\frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{5}}{5}$.

直線 $l$ は $y=kx$ と表せる。直線CDは $y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$.

交点は $kx = \frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$. $3kx = x-2$. $(3k-1)x = -2$. $x = \frac{-2}{3k-1}$.

$y = k\frac{-2}{3k-1} = \frac{-2k}{3k-1}$.

$(\frac{-2}{3k-1}, \frac{-2k}{3k-1})$.

3. 最終的な答え

(1) Bの座標: $(-1, -\frac{1}{3})$

(2) Aの座標: $(0, -\frac{2}{3})$

(3) lとCDの交点の座標: 求めるの困難