$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $4:3$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$, $BM$ の交点を $P$ とする。ベクトル $\overrightarrow{OP}$ をベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $4:3$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$, $BM$ の交点を $P$ とする。ベクトル $\overrightarrow{OP}$ をベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{OP}$ を線分 $AN$ 上の点として表し、次に線分 $BM$ 上の点として表す。

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。

* 点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので、$s$ を実数として

$\overrightarrow{OP} = (1-s) \overrightarrow{OA} + s \overrightarrow{ON}$

と表せる。ここで、点 $N$ は辺 $OB$ を $4:3$ に内分するので、$\overrightarrow{ON} = \frac{4}{7} \overrightarrow{OB} = \frac{4}{7} \overrightarrow{b}$ である。よって、

$\overrightarrow{OP} = (1-s) \overrightarrow{a} + \frac{4}{7}s \overrightarrow{b}$

となる。

* 同様に、点 $P$ は線分 $BM$ 上にあるので、$t$ を実数として

$\overrightarrow{OP} = (1-t) \overrightarrow{OB} + t \overrightarrow{OM}$

と表せる。ここで、点 $M$ は辺 $OA$ を $2:3$ に内分するので、$\overrightarrow{OM} = \frac{2}{5} \overrightarrow{OA} = \frac{2}{5} \overrightarrow{a}$ である。よって、

$\overrightarrow{OP} = (1-t) \overrightarrow{b} + \frac{2}{5}t \overrightarrow{a}$

となる。

$\overrightarrow{OP}$ の2つの表現を比較する。

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は一次独立なので、

$\begin{cases}

1-s = \frac{2}{5}t \\

\frac{4}{7}s = 1-t

\end{cases}$

が成り立つ。

この連立方程式を解く。

1つ目の式より $t = \frac{5}{2}(1-s)$

これを2つ目の式に代入すると、

$\frac{4}{7}s = 1 - \frac{5}{2}(1-s)$

$\frac{4}{7}s = 1 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}s$

$\frac{8}{14}s - \frac{35}{14}s = -\frac{3}{2}$

$-\frac{27}{14}s = -\frac{3}{2}$

$s = \frac{3}{2} \times \frac{14}{27} = \frac{7}{9}$

これを $\overrightarrow{OP} = (1-s) \overrightarrow{a} + \frac{4}{7}s \overrightarrow{b}$ に代入すると

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{7}{9}) \overrightarrow{a} + \frac{4}{7} \times \frac{7}{9} \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{9} \overrightarrow{a} + \frac{4}{9} \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{9} \overrightarrow{OA} + \frac{4}{9} \overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{9} \overrightarrow{OA} + \frac{4}{9} \overrightarrow{OB}$