放物線 $y = x^2$ 上に3点A, B, Cがあり、それぞれのx座標が-2, -1, 5である。この放物線上に点DをAC // BDとなるようにとるとき、点Dの座標と台形ABDCの面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上に3点A, B, Cがあり、それぞれのx座標が-2, -1, 5である。この放物線上に点DをAC // BDとなるようにとるとき、点Dの座標と台形ABDCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの座標を求める。

まず、各点の座標を求める。

A(-2, 4), B(-1, 1), C(5, 25)

ACの傾きを求める。

傾き = (25 - 4) / (5 - (-2)) = 21 / 7 = 3

AC // BDより、BDの傾きも3となる。

BDの式を $y = 3x + b$ とおき、点B(-1, 1)を通るので、

$1 = 3(-1) + b$

$b = 4$

よって、BDの式は $y = 3x + 4$

Dは放物線 $y = x^2$ 上の点なので、$x^2 = 3x + 4$を解く。

$x^2 - 3x - 4 = 0$

$(x - 4)(x + 1) = 0$

$x = 4, -1$

x = -1 は点Bなので、点Dのx座標は4。

Dのy座標は $y = 4^2 = 16$

D(4, 16)

(2) 台形ABDCの面積を求める。

台形ABDCの面積 = (AC + BD) * 高さ / 2

ACの長さ = $\sqrt{(5 - (-2))^2 + (25 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + 21^2} = \sqrt{49 + 441} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10}$

BDの長さ = $\sqrt{(4 - (-1))^2 + (16 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$

ACとBDの距離を求める。

直線AC: $y = 3x + 10$より、$3x - y + 10 = 0$

点B(-1, 1)と直線ACの距離 = $|3(-1) - 1 + 10| / \sqrt{3^2 + (-1)^2} = |6| / \sqrt{10} = 6 / \sqrt{10}$

台形ABDCの面積 = $(7\sqrt{10} + 5\sqrt{10}) * (6 / \sqrt{10}) / 2 = 12\sqrt{10} * (6 / \sqrt{10}) / 2 = 12 * 6 / 2 = 36$

3. 最終的な答え

(1) D(4, 16)

(2) 台形ABDCの面積: 36