放物線 $y = x^2$ (①) と $y = ax^2$ (②) ($a > 1$) があり、直線 $l$ がこれらの放物線と $y$ 軸と、それぞれ点 A, B, C, D, E で交わっている。点 A の $x$ 座標が -1 であり、線分 AB, BC, CD の長さの比が AB : BC : CD = 1 : 2 : 3 であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 点 E の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ (①) と $y = ax^2$ (②) ($a > 1$) があり、直線 $l$ がこれらの放物線と $y$ 軸と、それぞれ点 A, B, C, D, E で交わっている。点 A の $x$ 座標が -1 であり、線分 AB, BC, CD の長さの比が AB : BC : CD = 1 : 2 : 3 であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 点 E の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

点 A の $x$ 座標が -1 なので、点 A の座標は $(-1, 1)$ です。

AB : BC : CD = 1 : 2 : 3 なので、AB = k, BC = 2k, CD = 3k と置くことができます。

点 A の $x$ 座標が -1 なので、点 B の $x$ 座標を $x_B$ とすると、$x_B = -\frac{2}{3}$ となります。

直線 $l$ の式を $y = mx + n$ とすると、点 A を通るので、$1 = -m + n$ が成り立ちます。

点 B は放物線 $y = ax^2$ 上にあるので、点 B の座標は $(-\frac{2}{3}, a(\frac{4}{9}))$ となります。

点 B は直線 $l$ 上にあるので、$a(\frac{4}{9}) = -\frac{2}{3}m + n$ が成り立ちます。

点 C は $y$ 軸上にあるので、点 C の $x$ 座標は 0 であり、点 C の座標は $(0, n)$ となります。

点 D は放物線 $y = x^2$ 上にあるので、点 D の $x$ 座標を $x_D$ とすると、$x_D = 1$ であり、点 D の座標は $(1, 1)$ となります。

点 D は直線 $l$ 上にあるので、$1 = m + n$ が成り立ちます。

$1 = -m + n$ と $1 = m + n$ より、$m = 0$ かつ $n = 1$ となります。

よって、直線 $l$ の式は $y = 1$ となります。

点 B の座標は $(-\frac{2}{3}, 1)$ なので、$a(\frac{4}{9}) = 1$ が成り立ちます。

よって、$a = \frac{9}{4}$ となります。

(2) 点 E の座標を求める。

直線 $l$ の式は $y = 1$ であり、放物線 $y = x^2$ との交点が点 E です。

$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$ となります。

点 A の $x$ 座標は -1 なので、点 E の $x$ 座標は 1 です。

よって、点 E の座標は $(1, 1)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{9}{4}$

(2) 点 E の座標は $(1, 1)$