直線 $y = x + 2$ 上に点Pがあり、点Pからx軸に下ろした垂線の足をQとする。y軸と直線 $y = x + 2$ の交点をRとする。このとき、台形OQPRの面積が48であるとき、点Pの座標を求めよ。ただし、点Pのx座標は正である。

1. 問題の内容

直線 $y = x + 2$ 上に点Pがあり、点Pからx軸に下ろした垂線の足をQとする。y軸と直線 $y = x + 2$ の交点をRとする。このとき、台形OQPRの面積が48であるとき、点Pの座標を求めよ。ただし、点Pのx座標は正である。

2. 解き方の手順

点Pのx座標を $t$ とする（$t > 0$）。

点Pは直線 $y = x + 2$ 上にあるので、点Pのy座標は $t + 2$ となる。よって、点Pの座標は $(t, t + 2)$ である。

点Qは点Pからx軸に下ろした垂線の足なので、点Qの座標は $(t, 0)$ となる。

点Rはy軸と直線 $y = x + 2$ の交点なので、$x = 0$ を $y = x + 2$ に代入すると、$y = 0 + 2 = 2$ となる。よって、点Rの座標は $(0, 2)$ である。

台形OQPRの面積は、(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 で求められる。

上底はRPであり、RPの長さは点Pのy座標から点Rのy座標を引いたものなので、$RP = (t + 2) - 2 = t$ となる。

下底はOQであり、OQの長さは点Qのx座標なので、$OQ = t$ となる。

高さはPQであり、PQの長さは点Pのy座標なので、$PQ = t + 2$ となる。

したがって、台形OQPRの面積は、

$\frac{(t + 2 + 2)t}{2} = 48$

$\frac{(t + t) \times (t+2)}{2} = 48$

$t(t+2) = 48$

$t^{2} + 2t - 48 = 0$

$(t + 8)(t - 6) = 0$

$t = -8, 6$

$t > 0$ なので、$t = 6$ である。

したがって、点Pの座標は $(6, 6 + 2) = (6, 8)$ となる。

3. 最終的な答え

点Pの座標は (6, 8) である。