図形の$l$を軸とした回転体の体積を求める問題です。図形は、半径4cmの半円と、縦4cm、横3cmの長方形を組み合わせたものです。軸$l$と長方形の間の距離は2cmです。

1. 問題の内容

図形の$l$を軸とした回転体の体積を求める問題です。図形は、半径4cmの半円と、縦4cm、横3cmの長方形を組み合わせたものです。軸$l$と長方形の間の距離は2cmです。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、半円を回転させた球の半分（半球）と、長方形を回転させた円柱の体積の和で求められます。

まず、半円を回転させた半球の体積を計算します。半球の体積は、球の体積の半分で求められます。球の体積の公式は$V = \frac{4}{3}\pi r^3$です。

半球の半径は4cmなので、半球の体積は

$\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi (4)^3 = \frac{2}{3} \pi \times 64 = \frac{128}{3} \pi$ (cm$^3$)

次に、長方形を回転させた円柱の体積を計算します。円柱の体積は、$V = \pi r^2 h$で求められます。

円柱の半径は2cm、高さは4cmなので、円柱の体積は

$\pi (5)^2 \times 4 = \pi \times 25 \times 4 = 100 \pi$ (cm$^3$)

最後に、半球の体積と円柱の体積を足し合わせます。

$\frac{128}{3}\pi + 100\pi = (\frac{128}{3} + \frac{300}{3})\pi = \frac{428}{3}\pi$ (cm$^3$)

$\pi = 3.14$を用いて近似値を計算します。

$\frac{428}{3} \times 3.14 \approx 142.67 \times 3.14 \approx 448$

3. 最終的な答え

$\frac{428}{3}\pi \approx 448$ cm$^3$