点A(1, -1, 0)を通り、ベクトル$\vec{u} = (2, -3, 1)$ に平行な直線を$l$とする。 点B(-1, 2, -1)を通り、ベクトル$\vec{v} = (2, 1, 2)$ に平行な直線を$m$とする。 2直線$l$と$m$が交わるかどうかを調べ、交わる場合は交点の座標を求める。

1. 問題の内容

点A(1, -1, 0)を通り、ベクトル$\vec{u} = (2, -3, 1)$ に平行な直線を$l$とする。

点B(-1, 2, -1)を通り、ベクトル$\vec{v} = (2, 1, 2)$ に平行な直線を$m$とする。

2直線$l$と$m$が交わるかどうかを調べ、交わる場合は交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

直線$l$のパラメータ表示は、パラメータを$s$として

$\vec{p} = (1, -1, 0) + s(2, -3, 1) = (1+2s, -1-3s, s)$

直線$m$のパラメータ表示は、パラメータを$t$として

$\vec{q} = (-1, 2, -1) + t(2, 1, 2) = (-1+2t, 2+t, -1+2t)$

2直線が交わるならば、ある$s$と$t$に対して

$1+2s = -1+2t$

$-1-3s = 2+t$

$s = -1+2t$

が成り立つ。

これを解く。

1番目の式から $2s - 2t = -2$ すなわち $s - t = -1$。

2番目の式から $-3s - t = 3$。

3番目の式は $s - 2t = -1$。

$s = t-1$ を $-3s - t = 3$ に代入すると、

$-3(t-1) - t = 3$

$-3t + 3 - t = 3$

$-4t = 0$

$t = 0$

よって $s = -1$。

このとき、

$l$上の点は $(1+2(-1), -1-3(-1), -1) = (-1, 2, -1)$

$m$上の点は $(-1+2(0), 2+0, -1+2(0)) = (-1, 2, -1)$

3番目の式 $s = -1+2t$ に $s = -1$, $t=0$ を代入すると $-1 = -1 + 2(0)$となり、これは成り立つ。

したがって2直線は交わり、交点は(-1, 2, -1)。

3. 最終的な答え

2直線は交わり、交点の座標は(-1, 2, -1)。