三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺ABを1:2に内分する点をDとする。直線BCと直線ODの交点をEとする。点Fを $\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}$ で定められる点とする。以下の値を求めよ。 ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク、ケ、コ、サ、シ、ス、セ、ソ、タ、チ、ツ、テ、ト、ナ

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺ABを1:2に内分する点をDとする。直線BCと直線ODの交点をEとする。点Fを $\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}$ で定められる点とする。以下の値を求めよ。

ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、ク、ケ、コ、サ、シ、ス、セ、ソ、タ、チ、ツ、テ、ト、ナ

2. 解き方の手順

(ア、イ)

点Cは辺OAを1:2に内分するので、$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ 。よって、ア=$\frac{1}{3}$

(ウ、エ、オ、カ)

点Dは辺ABを1:2に内分するので、$\overrightarrow{OD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$。よって、ウ=$\frac{2}{3}$、エ=OA、オ=$\frac{1}{3}$、カ=OB

(キ、ク)

点Eは直線OD上にあるので、実数sを用いて$\overrightarrow{OE} = s\overrightarrow{OD} = \frac{2}{3}s\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}s\overrightarrow{OB}$ と表せる。

また、点Eは直線BC上にあるので、実数tを用いて$\overrightarrow{OE} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} = (1-t)\overrightarrow{OB} + \frac{t}{3}\overrightarrow{OA}$ と表せる。

したがって、$\frac{2}{3}s = \frac{t}{3}$ かつ $\frac{1}{3}s = 1-t$。

$t = 2s$を$\frac{1}{3}s = 1-t$に代入して、$\frac{1}{3}s = 1 - 2s$。

$\frac{7}{3}s = 1$より、$s = \frac{3}{7}$。

$\overrightarrow{OE} = \frac{3}{7}\overrightarrow{OD}$ なので、キ=3$\overrightarrow{OD}$

(ケ、コ、サ、シ)

また、$s = \frac{3}{7}$ より $t = 2s = \frac{6}{7}$。

したがって、$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{7}\overrightarrow{OB} + \frac{6}{7}\overrightarrow{OC}$。

$\overrightarrow{OE} = (1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$であり、$t=\frac{6}{7}$なので、$\overrightarrow{OB} + \frac{6}{7}\overrightarrow{BC}$ と表せる。

$\overrightarrow{OB}+\frac{6}{7} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OB} + \frac{6}{7} (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}) = \frac{1}{7} \overrightarrow{OB} + \frac{6}{7} \overrightarrow{OC}$

ゆえに、$\frac{6}{7}\overrightarrow{BC}$。

$\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OB} + \frac{6}{7}\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{7}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{OA}$ なので、$\frac{6}{7} \overrightarrow{BC}$

よって、ケ = $\frac{6}{7}$、コ=7、サ=6、シ=7

(ス、セ)

三角形OABの面積は$\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2 - (\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}$ で与えられ、

$|\overrightarrow{OB}| = 4$、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 6$ であるから、

$\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2 \cdot 4^2 - 6^2} = \frac{1}{2}\sqrt{16|\overrightarrow{OA}|^2 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{4(4|\overrightarrow{OA}|^2 - 9)} = \sqrt{4|\overrightarrow{OA}|^2 - 9}$

よって、ス=4、セ=9

(ソ、タ、チ)

$\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{OB} = (\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OC})\cdot\overrightarrow{OB} = (k\overrightarrow{OB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{OB} = k|\overrightarrow{OB}|^2 - \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 16k - \frac{1}{3}(6) = 16k - 2$

よって、ソ=1、タ=6、チ=2

(ツ、テ、ト)

$\overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{OB}$ より、$\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{OB} = 0$。

$16k - 2 = 0$ より、$k = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

よって、ツ=0、テ=1、ト=8

(ナ)

$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{7}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{2}{7}\overrightarrow{OA} - \frac{6}{7}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{8}\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OB} = -\frac{7}{8}\overrightarrow{OB}$

三角形BEFの面積は $\frac{1}{2}|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{BF}|\sin\theta$ (ただし、$\theta$は$\overrightarrow{BE}$と$\overrightarrow{BF}$のなす角)

三角形OABの面積は$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\alpha$ (ただし、$\alpha$は$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角)

三角形BEFの面積は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ であるから

$\frac{1}{2}|\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{BF}| = \frac{1}{2} \left|\left(\frac{2}{7}\overrightarrow{OA} - \frac{6}{7}\overrightarrow{OB}\right)\times\left(-\frac{7}{8}\overrightarrow{OB}\right)\right| = \frac{1}{2}\left|-\frac{14}{56}\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right| = \frac{1}{8} \left|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right| = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

したがって、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\alpha = 2(\frac{3\sqrt{3}}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$。

一方、三角形OABの面積は$\sqrt{4|\overrightarrow{OA}|^2 - 9}$でもあるから、$\sqrt{4|\overrightarrow{OA}|^2 - 9}= 6\sqrt{3} \implies 4|\overrightarrow{OA}|^2 - 9 = 36 \cdot 3 = 108$

$4|\overrightarrow{OA}|^2 = 117$ なので $|\overrightarrow{OA}|^2 = \frac{117}{4}$。よって、 $|\overrightarrow{OA}| = \frac{3\sqrt{13}}{2}$。

ナ=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

ア=$\frac{1}{3}$、イ=OA、ウ=$\frac{2}{3}$、エ=OA、オ=$\frac{1}{3}$、カ=OB、キ=3$\overrightarrow{OD}$、ク=$\frac{6}{7}\overrightarrow{BC}$、ケ=$\frac{6}{7}$、コ=7、サ=6、シ=7、ス=4、セ=9、ソ=1、タ=6、チ=2、ツ=0、テ=1、ト=8、ナ=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$