極座標で表された点A, B, C, Dの直交座標(x, y)を求め、空欄に当てはまる数を答える問題です。 与えられた極座標は以下の通りです。 A(4, $\frac{\pi}{4}$) B(2, $\frac{\pi}{6}$) C(2, $\frac{2\pi}{3}$) D(2, $\pi$)

1. 問題の内容

極座標で表された点A, B, C, Dの直交座標(x, y)を求め、空欄に当てはまる数を答える問題です。

与えられた極座標は以下の通りです。

A(4, $\frac{\pi}{4}$)

B(2, $\frac{\pi}{6}$)

C(2, $\frac{2\pi}{3}$)

D(2, $\pi$)

2. 解き方の手順

極座標$(r, \theta)$から直交座標$(x, y)$への変換は、以下の式で行います。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

(1) A(4, $\frac{\pi}{4}$)

$x = 4 \cos \frac{\pi}{4} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

$y = 4 \sin \frac{\pi}{4} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

したがって、Aの直交座標は$(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$です。

(2) B(2, $\frac{\pi}{6}$)

$x = 2 \cos \frac{\pi}{6} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$y = 2 \sin \frac{\pi}{6} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

したがって、Bの直交座標は$(\sqrt{3}, 1)$です。

(3) C(2, $\frac{2\pi}{3}$)

$x = 2 \cos \frac{2\pi}{3} = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$

$y = 2 \sin \frac{2\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

したがって、Cの直交座標は$(-1, \sqrt{3})$です。

(4) D(2, $\pi$)

$x = 2 \cos \pi = 2 \times (-1) = -2$

$y = 2 \sin \pi = 2 \times 0 = 0$

したがって、Dの直交座標は$(-2, 0)$です。

3. 最終的な答え

A: ($2\sqrt{2}$, $2\sqrt{2}$)

B: ($\sqrt{3}$, $1$)

C: ($-1$, $\sqrt{3}$)

D: ($-2$, $0$)