一辺の長さが1の正方形の折り紙ABCDがある。辺AB, DC上にそれぞれ点E, Fをとり、線分EFを折り目として、頂点Bが辺AD上の点Gに重なるように折る。このとき、頂点Cが移る点をHとし、辺DCと線分GHの交点をIとする。点Gが辺ADの中点の場合を考え、AEとDIの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正方形の折り紙ABCDがある。辺AB, DC上にそれぞれ点E, Fをとり、線分EFを折り目として、頂点Bが辺AD上の点Gに重なるように折る。このとき、頂点Cが移る点をHとし、辺DCと線分GHの交点をIとする。点Gが辺ADの中点の場合を考え、AEとDIの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$BE = GE$より、$AE$を求める。

$AG = \frac{1}{2}$である。

また、$AE + BE = 1$なので、$BE = 1 - AE$である。

したがって、$GE = 1 - AE$である。

$\triangle AEG$において、ピタゴラスの定理より、

$AE^2 + AG^2 = GE^2$

$AE^2 + (\frac{1}{2})^2 = (1 - AE)^2$

$AE^2 + \frac{1}{4} = 1 - 2AE + AE^2$

$\frac{1}{4} = 1 - 2AE$

$2AE = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$AE = \frac{3}{8}$

次に、$DI$を求める。

$AE = \frac{3}{8}$であるから、$BE = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

$CF = BE = \frac{5}{8}$なので、$DF = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

$\triangle AEG \equiv \triangle DGI$より、$DG = AE = \frac{3}{8}$

よって、$GI = GE = BE = \frac{5}{8}$

$\triangle DGI$において、ピタゴラスの定理より、

$DI^2 + DG^2 = GI^2$

$DI^2 + (\frac{3}{8})^2 = (\frac{5}{8})^2$

$DI^2 = (\frac{5}{8})^2 - (\frac{3}{8})^2 = \frac{25}{64} - \frac{9}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$

$DI = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$AE = \frac{3}{8}$であり、$BE = GE = \frac{5}{8}$である。

$DI = \frac{1}{2}$であり、$CF = \frac{5}{8}$である。

したがって、

カ：3

キ：8

ク：5/8

ケ：1

コ：2

サ：5/8